Question

在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=k₁x+b₁與直線AD：y=k₂x+b₂相交于點(diǎn)A（1，3），且點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），直線AB交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，直線 AD交x軸正半軸于點(diǎn)D．
（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象直接回答，不等式k₁x+b₁＞k₂x+b₂的解集；
（3）若點(diǎn)M為x軸一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，使AM+BM的值最��？求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由y=k₁x+b₁與直線AD：y=k₂x+b₂相交于點(diǎn)A（1，3），且點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的函數(shù)解析式；
（2）觀察圖象可得：當(dāng)x＞1時(shí)，不等式k₁x+b₁＞k₂x+b₂；
（3）首先求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，直線A′B與x軸的交點(diǎn)，即是點(diǎn)M，然后利用待定系數(shù)法求得直線A′B的解析式，繼而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解（1）∵直線AB：y=k₁x+b₁過(guò)點(diǎn)（1，3），（0，2），
∴

k1+b1=3 b1=2

，
∴解得：k₁=1，b₁=2，…（2分）
∴直線AB解析式為：y=x+2；…（3分）

（2）由圖得：不等式k₁x+b₁＞k₂x+b₂的解集為：x＞1；…（6分）

（3）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（1，-3）．
連接A′B，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)AM+BM的值最�。�
設(shè)直線A′B解析式為：y=kx+b，
則

k+b=-3 b=2

，
解得：k=-5，b=2，…（8分）
直線A′B解析式為：y=-5x+2，
當(dāng)y=0，x=

2

5

，
∴點(diǎn)M（

2

5

，0）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象以及距離最短問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．