Question

【題目】已知：如圖，一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求四邊形BDEC的面積S；

（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，從O點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)P使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，動(dòng)點(diǎn)Q在射線AC上，同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒a個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】⑴;(2);(3);(4)

【解析】

（1）根據(jù)直線BC的解析式，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由于B、D都在拋物線的圖象上，那么它們都滿足該拋物線的解析式，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值；

（2）根據(jù)拋物線的解析式，可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC的解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；那么四邊形BDEC的面積即可由△AEC、△ABD的面積差求得；

（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，連接BP、CP，過(guò)C作CF⊥x軸于F，若∠BPC=90°，則△BOP∽△PCF，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出OP、PF的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，繼而得出t的值．

（4）假設(shè)成立有△ABD∽△APQ或△ABD∽△AQP，則有∠ABD=∠APQ，或∠ABD=∠AQP，判斷是否滿足即可．

（1）將B（0，1），D（1，0）的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，

得： ，

解得：

故解析式y=；

（2）設(shè)C（x0，y0），

則有 ，

解得，

∴C（4，3），

由圖可知：S=S△ACE-S△ABD，又由對(duì)稱軸為x=可知E（2，0），

∴S=AEy0-AD×OB=×4×3-×3×1=；

（3）設(shè)符合條件的點(diǎn)P存在，令P（t，0）：

當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖：過(guò)C作CF⊥x軸于F；

∵Rt△BOP∽Rt△PCF，

∴，即 ，

整理得t2-4t+3=0，

解得a=1或a=3；

故可得t=1或3．

（4）存在符合條件的a值，使△APQ與△ABD相似，

①當(dāng)△APQ∽△ABD時(shí)，

，

解得：a=；

②當(dāng)△APQ∽△ADB時(shí)，，解得：a=，

∴存在符合條件的a值，使△APQ與△ABD相似，a=或．