Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．
（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），求證：BM+DN=MN；
（2）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），則線段BM，DN和MN之間數量關系是______；
（3）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系呢？并對你的猜想加以說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長CB到E，使BE=DN，連接AE，根據SAS證△ABE≌△ADN，推出AE=AN，∠DAN=∠BAE，求出∠NAM=∠MAE，根據SAS證出△NAM≌△EAM即可；
（2）證法與（1）類似，延長CB到E，使BE=DN，連接AE，根據SAS證△ABE≌△ADN，推出AE=AN，∠DAN=∠BAE，求出∠NAM=∠MAE，根據SAS證出△NAM≌△EAM即可；
（3）在CD上截取DE=BM，連接AE，根據SAS證△ADE≌△ABM，推出AE=AM，∠DAE=∠MAB，求出∠EAN=∠MAN，根據SAS證出△MAN≌△EAN即可．
解答：（1）證明：如圖1，延長CB至E使得BE=DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中
∵，
△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中
，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN；

（2）解：線段BM，DN和MN之間數量關系是BM+DN=MN，理由如下：
延長CB至E，使得BE=DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中，
∵，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中
，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN，
故答案為：BM+DN=MN；

（3）DN-BM=MN，理由如下：
如圖3，在DC上截取DE=BM，連接AE，
由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），
∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠MAN．
∵在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS），
∴EN=MN，
即DN-DE=MN，
∴DN-BM=MN．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，此題比較典型，具有一定的代表性，且證明過程類似，同時通過做此題培養(yǎng)了學生的猜想能力和類比推理能力．