Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其圖象頂點(diǎn)為D，OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．
（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)

 

、點(diǎn)B的坐標(biāo)

 

；
（2）求二次函數(shù)y=ax²+bx+3及直線CD的解析式；
（3）直線CD與x軸交于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直接得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)OB=OC，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由tan∠ACO=

1

3

，得出OC=3OA，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）將AB兩點(diǎn)代入即可得出二次函數(shù)y=ax²+bx+3的解析式，再求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得出直線CD的解析式；
（3）分三種情況：①以AC、AE為鄰邊：則CF

∥ .

.

AE②以EC、AE為鄰邊：則CF

∥ .

.

AE；③以AC、EC為鄰邊．

解答：解：（1）A（-1，0）、B（3，0）；（2分）

（2）（方法一）
∵點(diǎn)A、B在二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象上
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

得：

a=-1 b=2

∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3（4分）
∵-

b

2a

=-

2

2×(-1)

=1

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×3-22

4×(-1)

=4
∴頂點(diǎn)D（1，4）（5分）
設(shè)直線CD的解析式為：y=k₁x+b₁

b1=3 k1+b1=4

得：

b1=3 k1=1

∴直線CD的解析式為：y=x+3（7分）
（方法二）
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x-3）
∵點(diǎn)C（0，3）在二次函數(shù)圖象上∴-3a=3，a=-1
∴y=-x²+2x+3（4分）=-（x-1）²+4∴頂點(diǎn)D（1，4）（5分）
設(shè)直線CD的解析式為：y=k₁x+b₁

b1=3 k1+b1=4

得：

b1=3 k1=1

∴直線CD的解析式為：y=x+3（7分）

（3）當(dāng)y=0時(shí)，x+3=0
解得：x=-3，∴E（-3，0）（8分）
存在點(diǎn)F，使以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
有三種情況：
①以AC、AE為鄰邊：則CF

∥ .

.

AE
∵AE=2，∴F（-2，3）（9分）
②以EC、AE為鄰邊：則CF

∥ .

.

AE
∵AE=2，∴F（2，3）（10分）
③以AC、EC為鄰邊：
過(guò)F作FG⊥x軸則△EGF≌△AOC，∴EG=OA=1，GF=OC=3
∵F在第三象限∴F（-4，-3）（11分）
綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3）或（-2，3）或（-4，-3）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式的求法，以及平行四邊形的判定，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．