Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當BD=5，CD=4時，求AF的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ADC=90⁰。

       ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC。

∴∠BAC=∠ADC=90°。∴BA⊥AC。

又∵AB是⊙O的直徑，∴AC是⊙O的切線。

（2）∵△ADC∽△BAC（已證），∴。

∵BD=5，CD=4，∴BC=9。∴，解得：AC=6。

∴在Rt△ACD中，，

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，

∴CA=CF=6。∴DF=CA－CD=2。

∴在Rt△AFD中，。

【解析】（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90⁰，從而可判斷AC是⊙O的切線。

（2）根據(jù)（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，從而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質(zhì)得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長。