Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O與坐標(biāo)原點重合，頂點A，C在坐標(biāo)軸上，OA=60cm，OC=80cm，動點P從點O出發(fā)，以5cm/s的速度沿x軸勻速向點C運動，到達點C即停止，設(shè)點P運動的時間為ts。

（1）過點P作對角線OB的垂線，垂足為點T，求PT的長y與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在點P運動過程中，當(dāng)點O關(guān)于直線AP的對稱點O'恰好落在對角線OB上時，求此時直線AP的函數(shù)解析式；
（3）探索：以A，P，T三點為頂點的△APT的面積能否達到矩形OABC面積的？請說明理由。

Answer 1

解：（1）在矩形OABC中， ∵OA=60，OC=80， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴y=PT=3t， 當(dāng)點P運動到C點時即停止運動，此時t的最大值為， 所以，t的取值范圍是； （2）當(dāng)O點關(guān)于直線AP的對稱點O′恰好在對角線OB上時， A，T，P三點應(yīng)在一條直線上（如答圖2）， ∴， ∴， ∴， ∴OP=45， ∴點P的坐標(biāo)為（45，0）， 設(shè)直線AP的函數(shù)解析式為y=kx+b， 將點A（0，60）和點P（45，0）代入解析式， 得，解這個方程組，得， ∴此時直線AP的函數(shù)解析式是； （3）由（2）知，當(dāng)時，三點在一條直線上， 此時點不構(gòu)成三角形； 故分兩種情況 （i）當(dāng)時，點T位于△AOP的內(nèi)部（如圖3）， 過A點作AE⊥OB，垂足為點E，由， 可得AE=48， ∴ =， 若，則應(yīng)有， 即， 此時，所以該方程無實數(shù)根， 所以，當(dāng)時，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的； （ii）當(dāng)時，點T位于△AOP的外部（如圖4）， 此時， 若，則應(yīng)有，即， 解這個方程，得（舍去）， 由于， ∴， 而此時，所以也不符合題意，故舍去， 所以，當(dāng)時，以A，P，T為頂點的△APT的面積也不能達到矩形OABC面積的， 綜上所述，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的。