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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,過點A作⊙O的切線并在其上取一點C,連接OC交⊙O于點D,BD的延長線交AC于E,連接AD.

(1)求證:△CDE∽△CAD;

(2)若AB=2,AC=,求AE的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)根據圓周角定理由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°,則∠B+∠BAD=90°,再根據切線的性質,由AC為⊙O的切線得∠BAD+∠CAD=90°,則∠B=∠CAD,由于∠B=∠ODB,∠ODB=∠CDE,所以∠B=∠CDE,則∠CAD=∠CDE,加上∠ECD=∠DCA,根據三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD;

(2)在Rt△AOC中,OA=1,AC=,根據勾股定理可計算出OC=3,則CD=OC﹣OD=2,然后利用△CDE∽△CAD,根據相似比可計算出CE,再由AE=AC﹣CE可得AE的值.

試題解析:(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∵AC為⊙O的切線,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,而∠ODB=∠CDE,∴∠B=∠CDE,∴∠CAD=∠CDE,而∠ECD=∠DCA,∴△CDE∽△CAD;

(2)解:∵AB=2,∴OA=1,在Rt△AOC中,AC=,∴OC==3,∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,∵△CDE∽△CAD,∴,即,∴CE=,AE=AC﹣CE==

練習冊系列答案
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【題目】如圖,已知直線y=﹣x+4與兩坐標軸分別相交于點A,B兩點,點C是線段AB上任意一點,過C分別作CD⊥x軸于點D,CE⊥y軸于點E.雙曲線 與CD,CE分別交于點P,Q兩點,若四邊形ODCE為正方形,且 ,則k的值是( )

A.4
B.2
C.
D.

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(1)A型自行車去年每輛售價多少元?
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【題目】如圖,△ABC和△CEF均為等腰直角三角形,E在△ABC內,∠CAE+∠CBE=90°,連接BF.

(1)求證:△CAE∽△CBF.

(2)若BE=1,AE=2,求CE的長.

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【題目】如圖,RtABC中,C=90°,AB=15,BC=9,點P,Q分別在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0<x<3).把PCQ繞點P旋轉,得到PDE,點D落在線段PQ上.

(1)求證:PQAB;

(2)若點D在BAC的平分線上,求CP的長;

(3)若PDE與ABC重疊部分圖形的周長為T,且12≤T≤16,求x的取值范圍.

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【題目】如圖△ABC,AC=BC,∠ACB=90°,AD為角平分線,延長AD交BF于E,E為BF中點,下列結論錯誤的是(
A.AD=BF
B.CF=CD
C.AC+CD=AB
D.BE=CF

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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,ABCD,ABC=ADC,DE垂直于對角線AC,垂足是E,連接BE.

(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;

(2)若點E是AC的中點,判斷BE與AC的位置關系,并說明理由;

(3)若ABE是等邊三角形,AD=,求對角線AC的長.

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