Question

菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，OA=5，cosB=，直線AC交y軸于點D，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線A-B-C向終點C勻速運動，同時，動點Q從D點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿DA向終點A勻速運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）求△PCQ的面積S（點P在BC上）與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)t=時，直線PQ交y軸于F點，求的值．

Answer 1

解：（1）作CE⊥OA交OA于點E，
∵四邊形ABCO是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，∠1=∠B，
∵cosB=，
∴cos∠1==，
∴，
∴OE=3，∴AE=2，
在Rt△OEC和Rt△AEC中，由勾股定理，得
EC=4，CA=2，
∴C（3，4）；

（2）∵OA=5，
∴A（5，0），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，由題意，得
，解得，
∴直線AC的解析式為：y=-2x+10，
當(dāng)x=0時，y=10，
∴OD=10，在Rt△AOD中由勾股定理，得
AD=5，
∴CD=3，
∴當(dāng)≤t＜3時，
DQ=t，QA=5-t，
∴，
∴，
∴QG=10-2t，
∴S=，
S=2t²-16t+30，
當(dāng)3＜t＜5時，
S=，
S=-2t²+16t-30；

（3）當(dāng)t=時，P（8，4），QG=5，
∴5=-2x+10，
∴x=，
∴Q（，5），
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由題意，得
，解得，
∴直線PQ的解析式為y=-x+，
當(dāng)x=0時，y=，
∴OF=，
∴FD=，
∴=．
分析：（1）由四邊形ABCO是菱形我們可以得出角相等和邊相等，作CE⊥OA交OA于點E，由cosB=求出OE的長度，再根據(jù)勾股定理就可以求出CE的長度，從而求出C點的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出直線AC的解析式，求出AD的長，利用勾股定理求出AC的長，從而求出CD的長度，分為點Q在CD之間和在AC之間時兩個不同的解析式．
（3）當(dāng)t=時，利用相似可以求出Q、B的坐標(biāo)，從而可以求出直線PQ的解析式，求出OF的值，從求出其結(jié)論．
點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了三角形的面積公式的運用菱形的性質(zhì)，勾股定理的運用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及解直角三角形的相關(guān)知識．