【題目】如圖,AB是O的弦,D為半徑OA的中點(diǎn),過(guò)D作CDOA交弦AB于點(diǎn)E,交O于點(diǎn)F,且CE=CB.

1求證:BC是O的切線;

2連接AF、BF,求ABF的度數(shù);

3如果CD=15,BE=10,sinA=,求O的半徑.

【答案】1證明見解析230°3

【解析】

試題分析:1連接OB,由圓的半徑相等和已知條件證明OBC=90°,即可證明BC是O的切線;

2連接OF,AF,BF,首先證明OAF是等邊三角形,再利用圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半即可求出ABF的度數(shù);

3過(guò)點(diǎn)C作CGBE于G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=BE=5,由兩角相等的三角形相似,ADE∽△CGE,利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到sinECG=sinA=,在RtECG中,利用勾股定理求出CG的長(zhǎng),根據(jù)三角形相似得到比例式,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果.

試題解析:1連接OB,

OB=OA,CE=CB,

∴∠A=OBA,CEB=ABC,

CDOA,

∴∠A+AED=A+CEB=90°,

∴∠OBA+ABC=90°,

OBBC,

BC是O的切線;

2如圖1,連接OF,AF,BF,

DA=DO,CDOA,

AF=OF,

OA=OF,

∴△OAF是等邊三角形,

∴∠AOF=60°,

∴∠ABF=AOF=30°;

3如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CGBE于G,

CE=CB,

EG=BE=5,

∵∠ADE=CGE=90°,AED=GEC,

∴∠GCE=A,

∴△ADE∽△CGE,

sinECG=sinA=,即CE=13,

在RtECG中,

CG==12,

CD=15,CE=13,

DE=2,

∵△ADE∽△CGE,

AD=,CG=,

∴⊙O的半徑OA=2AD=

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C. 過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)(非圓心)的無(wú)數(shù)條弦中,有且只有一條最長(zhǎng)的弦,也有且只有一條最短的弦

D. 過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)(非圓心)的無(wú)數(shù)條弦中,既沒(méi)有最長(zhǎng)的弦,也沒(méi)有最短的弦

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