Question

設n是正整數，d₁＜d₂＜d₃＜d₄是n的四個最小的正整數約數，若n=d₁²+d₂²+d₃²+d₄²，求n的值．

Answer 1

若n為奇數，則d₁，d₂，d₃，d₄全為奇數，則d₁²+d₂²+d₃²+d₄²為偶數，與n為奇數矛盾，
故n為偶數，故d₁=1．d₂=2．
若n為4的倍數，則d₃，d₄必有一個為4，而n為偶數，
則另一個為奇數，d₁²+d₂²+d₃²+d₄²除以4的余數為2與題意不符，故n不是4的倍數．
設d₃=a（a為奇數），則d必為偶數，故d₄=2a．
則n=1²+2²+a²+（2a）²=5（a²+1），可見n是5的倍數，
故d₃=5，d₄=10，n=130．
故n的值為130．