Question

（2012•青島）問題提出：以n邊形的n個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共（m+n）個點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？
問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊性的策略，先從簡單和具體的情形入手：
探究一：以△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個點(diǎn)P，共4個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個互不重疊的小三角形？
如圖①，顯然，此時可把△ABC分割成3個互不重疊的小三角形．
探究二：以△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個點(diǎn)P、Q，共5個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個互不重疊的小三角形？
在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會有兩種情況：
一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個小三角形內(nèi)部．不妨假設(shè)點(diǎn)Q在△PAC內(nèi)部，如圖②；
另一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上．不妨假設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖③．
顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個不重疊的小三角形．
探究三：以△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個點(diǎn)P、Q、R，共6個點(diǎn)為頂點(diǎn)可把△ABC分割成

7

個互不重疊的小三角形，并在圖④中畫出一種分割示意圖．
探究四：以△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共（m+3）個頂點(diǎn)可把△ABC分割成

（2m+1）

個互不重疊的小三角形．
探究拓展：以四邊形的4個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共（m+4）個頂點(diǎn)可把四邊形分割成

（2m+2）

個互不重疊的小三角形．
問題解決：以n邊形的n個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共（m+n）個頂點(diǎn)可把△ABC分割成

（2m+n-2）

個互不重疊的小三角形．
實(shí)際應(yīng)用：以八邊形的8個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2012個點(diǎn)，共2020個頂點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？（要求列式計(jì)算）

Answer 1

分析：探究三：分三角形內(nèi)部三點(diǎn)共線與不共線兩種情況作出分割示意圖，查出分成的部分即可；
探究四：根據(jù)前三個探究不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)部每增加一個點(diǎn)，分割部分增加2部分，根據(jù)此規(guī)律寫出（m+3）個點(diǎn)分割的部分?jǐn)?shù)即可；
探究拓展：類似于三角形的推理寫出規(guī)律整理即可得解；
問題解決：根據(jù)規(guī)律，把相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)換成m、n整理即可得解；
實(shí)際應(yīng)用：把公式中的相應(yīng)的字母，換成具體的數(shù)據(jù)，然后計(jì)算即可得解．

解答：解：探究三：如圖，三角形內(nèi)部的三點(diǎn)共線與不共線時都分成了7部分，
故答案為：7；分割示意圖（答案不唯一）

探究四：三角形內(nèi)部1個點(diǎn)時，共分割成3部分，3=3+2（1-1），
三角形內(nèi)部2個點(diǎn)時，共分割成5部分，5=3+2（2-1），
三角形內(nèi)部3個點(diǎn)時，共分割成7部分，7=3+2（3-1），
…，
所以，三角形內(nèi)部有m個點(diǎn)時，3+2（m-1）或2m+1；…4分

探究拓展：四邊形的4個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，
則分割成的不重疊的三角形的個數(shù)為：4+2（m-1）或2m+2；…6分

問題解決：n+2（m-1）或2m+n-2；…8分

實(shí)際應(yīng)用：把n=8，m=2012代入上述代數(shù)式，得
2m+n-2，
=2×2012+8-2，
=4024+8-2，
=4030．…10分

點(diǎn)評：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，圖形的變化規(guī)律的問題，讀懂題目信息，根據(jù)前四個探究得到每多一個點(diǎn)，則三角形的個數(shù)增加2是解題的關(guān)鍵．