Question

如圖，在△ABC中，∠B＝，AB＝4，BC＝3，O是AB的中點(diǎn)，OP⊥AB交AC于點(diǎn)P．

(1)證明線段AO、OB、OP中，任意兩條線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度．

(2)過(guò)線段OB(包括端點(diǎn))上任一點(diǎn)M，作MN⊥AB交AC于點(diǎn)N．要使線段AM、MB、MN中任意兩條線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度，請(qǐng)求出線段AM長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

正解1：(1)∵∠B＝，OP⊥AB． 　　∴∠AOP＝∠B＝，∴△AOP∽△ABC． 　　∴＝． 　　∵AB＝4，BC＝3，O是AB的中點(diǎn)， 　　∴＝，∴OP＝． 　　∵＝OP＜AO＝OB＝2，且＋2＞2， 　　∴OP＋AO＞OB，OP＋OB＞OA，OB＋OB＞OP． 　　即AO、OB、OP中，任意兩條線段的長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度． 　　正解2：∵∠B＝，OP⊥AB． 　　∴OP∥BC．又∵O是AB的中點(diǎn)， 　　∴OP是△ABC的中位線， 　　∴OP＝BC， 　　∵BC＝3，∴OP＝．(以下略) 　　(2)當(dāng)M在OB上時(shí)，設(shè)AM＝x(2≤x≤4)． 　　則MB＝4－x， 　　∵△AMN∽△ABC， 　　∴＝，∴MN＝＝x． 　　又MN＜AM，MB＜AM． 　　依題意，得MN＋MB＞AM， 　　∴x＋(4－x)＞x． 　　解之，得x＜． 　　∴AM的取值范圍為2≤AM＜．

提示：

警示：此題學(xué)生中常見(jiàn)的錯(cuò)誤一是不由△AMN∽△ABC直接得出＝，產(chǎn)生錯(cuò)誤；二是忽視x的取值范圍，僅得出AM＜這部分范圍，擴(kuò)大了范圍，應(yīng)引起足夠的重視．