Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，矩形MRTN內接于△ABC（RT在BC邊上），正方形EGHF內接于△AMN（GH在MN邊上），EF，MN分別交AD于點P，Q，設AP=x，已知BC=6，AD=4．
（1）試用x的代數式表示線段EF，MN的長；
（2）設S=S_EGHF+S_MRTN，
①求S關于x的解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當x取何值時，S有最大值？
（3）連接RN，當△NRC是等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）先根據EF∥BC求出△AEF∽△ABC，根據其相似比可用含x的代數式表示出EF；同理，由MN∥BC，可求出△AMN∽△ABC，根據其相似比為可用含x的代數表示出MN的值；
（2）①由NT=DQ可用含x的代數式表示出NT的長，再結合（1）的結論便可寫出S關于x的解析式，根據0＜NT＜4，即可求出x的取值范圍；
②由①求出的函數解析式可判斷出a、b的值，根據解析式得出當x取

20

19

時，s有的最大值；
（3）由于等腰三角形的兩腰不明確，故應分三種情況進行討論．

解答：解：（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AP

AD

即

EF

6

=

x

4

，
∴EF=

3

2

x，
又∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴

MN

BC

=

AQ

AD

即

MN

6

=

x+ 3 2 x

4

，
∴MN=

15

4

x；

（2）①∵NT=DQ=AD-AQ=4-(x+

3

2

x)=4-

5

2

x，
∴S=EF2+MN×NT=(

3

2

x)2+

15

4

x×(4-

5

2

x)，
即S=-

57

8

x2+15x，
自變量x的取值范圍為：0＜x＜

8

5

；
②∵a=-

57

8

＜0，b=15，
此時x=-

b

2a

=-

15

2×(- 57 8 )

=

20

19

，
∵0＜

20

19

＜

8

5

，
∴當x=

20

19

時，S有最大值；

（3）當△NRC是等腰三角形時，分以下三種情形：
①當NR=NC時，∵NT⊥BC，∴RT=CT，∵DT=

1

2

RT=

1

2

NM=

15

8

x，CD=

1

2

BC=3，
∴

15

4

x=3-

15

8

x，
解得x=

8

15

；
②當RC=NC時，∵AC=

AD2+CD2

=

42+32

=5，
∴cosC=

CD

AC

=

3

5

，
在Rt△NCT中，CT=3-

15

8

x∴CN=

CT

cosC

=5-

25

8

x，
∴

15

4

x+3-

15

8

x=5-

25

8

x，
解得x=

2

5

；
③當RC=NR時，

解法一：如圖，作RK⊥AC于點K，
則CK=

1

2

CN=

1

2

(5-

25

8

x)，
∵CK=RC×cosC，
∴

1

2

(5-

25

8

x)=(

15

4

x+3-

15

8

x)×

3

5

，
解得x=

56

215

；
解法二：∵RC²=NR²=NT²+RT²，
化簡得1075x²-2000x+448=0，
解得x=

56

215

，或x=

8

5

（不合題意，舍去），
綜上所述，當△NRC是等腰三角形時，x=

8

15

，或x=

2

5

，或x=

56

215

．

點評：此題比較復雜，涉及到相似三角形判定與性質、二次函數的最值、等腰三角形的性質，在解（2）時一定要注意分類討論，不要漏解．