Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（，）的拋物線(xiàn)交y軸于點(diǎn)C（0，﹣2），交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．P點(diǎn)是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，△POA與△ABC相似？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)以A、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)為；（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±2），（0，±）；（3）（﹣5，18），（5，3），（3，﹣2）．

【解析】

（1）設(shè)頂點(diǎn)式拋物線(xiàn)解析式，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可；

（2）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，證明△ACB是直角三角形，分兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系利用三角形相似求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分三種情況：①Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣5；②Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5；③Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1+4＝3；代入拋物線(xiàn)的解析式求出它們的縱坐標(biāo)，從而求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)為y＝a（x﹣）2﹣，

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，﹣2），

∴﹣2＝a（0﹣）2﹣，

a＝．

∴拋物線(xiàn)為；

（2）在原解析式中，令y＝0，則x2﹣x﹣2＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝4，

則點(diǎn)A為（﹣1，0），點(diǎn)B為（4，0），

則AB＝5，AC＝，BC＝2，

∵（）2+（2）2＝52，

∴△ACB是直角三角形，

①設(shè)OP的長(zhǎng)為x，則有

，

解得x＝2；

②設(shè)OP的長(zhǎng)為y，則有

，

解得y＝；

則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±2），（0，±）；

（3）因?yàn)橐?/span>A、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

所以分三種情況：

①Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣5，y＝×（﹣5）2﹣×（﹣5）﹣2＝18；

②Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，y＝×52﹣×5﹣2＝3；

③Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1+4＝3，y＝×32﹣×3﹣2＝﹣2．

所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，18），（5，3），（3，﹣2）．