Question

已知：直線(xiàn)l的解析式為y=

m

8

x+m（m為常數(shù)，m≠0），點(diǎn)（-4，3）在直線(xiàn)l上．
（1）求m的值；
（2）若⊙A的圓心為原點(diǎn)，半徑為R，并且⊙A與直線(xiàn)l有公共點(diǎn)，試求R的取值范圍；
（3）當(dāng)（2）中的⊙A與l有唯一公共點(diǎn)時(shí)，將此時(shí)的⊙A向左移動(dòng)（圓心始終保持在x軸上），試求在這個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)直線(xiàn)l被⊙A截得的弦的長(zhǎng)為

8

5

11

時(shí)圓心A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）可將點(diǎn)（-4，3）代入直線(xiàn)l的解析式中，求出m的值．
（2）⊙A與直線(xiàn)l有公共點(diǎn)，則圓與直線(xiàn)l相交或相切，求此時(shí)R的取值范圍，就必須求出圓心到直線(xiàn)l的距離．過(guò)A作AD⊥直線(xiàn)l與D，設(shè)直線(xiàn)交x軸于B，交y軸于C，有直線(xiàn)l的解析式，可得出B，C的坐標(biāo)，那么就有了OB，OC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理就能求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形ABC的面積的不同的表示方法，可求出AD的長(zhǎng)，即圓心到直線(xiàn)L的距離，然后根據(jù)圓與直線(xiàn)相交或相切，則圓的半徑≥圓到直線(xiàn)的距離．
（3）可過(guò)A作直線(xiàn)L的垂線(xiàn)，有被截得弦的長(zhǎng)度，有圓的半徑，那么圓心到直線(xiàn)的距離就能求出來(lái)了，然后根據(jù)直線(xiàn)l與x軸的夾角的正弦值，用圓到直線(xiàn)的距離求出AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)即AB的長(zhǎng)，求出A到原點(diǎn)的距離，從而求出A的坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得：3=

m

8

（-4）+m，解得：m=6．

（2）直線(xiàn)l的解析式為y=

3

4

x+6，如圖（1），設(shè)直線(xiàn)l分別于x軸，y軸交于B，C兩點(diǎn)．
令x=0，得y=6；令y=0，得x=-8．
∴B，C坐標(biāo)分別為B（-8，0），C（0，6）．即AB=8，AC=6．
在直角三角形ABC中，BC=

AB2+AC2

=10．
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D．
∵

1

2

AD•BC=

1

2

AC•BD，
∴AD=

24

5

．
又直線(xiàn)l與⊙A有公共點(diǎn)，即l與OA相切或相交，
∴R≥

24

5

．

（3）當(dāng)（2）中⊙A與l有惟一公共點(diǎn)時(shí)，⊙A與l相切，
∴R=

24

5

．
將該圓向左移動(dòng)直線(xiàn)l被⊙A截得的弦的長(zhǎng)為

8

5

11

時(shí)，設(shè)截得的弦為DE，那么DE=

8

5

11

，
過(guò)A作AF⊥DE于F，根據(jù)垂徑定理EF=DF=

4

5

11

，
直角三角形AFE中，AE=R=

24

5

，AF=

AE2-EF2

=4．
直角三角形CDO中，tan∠CBO=

OC

OB

=

3

4

，因此sin∠CBO=

3

5

．
直角三角形FBA中，AF=4，sin∠CBO=

3

5

．AB=AF÷sin∠CBO=

20

3

．
因此，OA=OB-AB=8-

20

3

=

4

3

，
當(dāng)A在B的左側(cè)時(shí)，BA′=BA=8-

4

3

，
即OA′=8+（8-

4

3

）=14

2

3

，
因此A點(diǎn)的坐標(biāo)是（

4

3

，0）或（-14

2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合了一次函數(shù)考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，本題中根據(jù)直線(xiàn)的函數(shù)求出直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)交點(diǎn)的坐標(biāo)得出線(xiàn)段的長(zhǎng)進(jìn)而求出圓心到直線(xiàn)的距離是解題的關(guān)鍵．