Question

已知：如圖，等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

3

x

（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的函數(shù)表示式；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)都寫出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出OB的長(zhǎng)，然后根據(jù)等邊三角形的特點(diǎn)用OB的長(zhǎng)表示出△OAB的面積，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式知，△OAB的面積為

3

，聯(lián)立其面積表達(dá)式即可求得OB的長(zhǎng)，從而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)，易求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可．
（3）首先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別表示出OP²、OA²、AP²，分三種情況討論：
①OP=OA，②OP=AP，③OA=AP，根據(jù)三種情況下所能列出的不同等量關(guān)系式，可求得符合題意的點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意得，△OAB的面積為

3

；（1分）
設(shè)OB=a，S_△OAB=

3

4

a2=

3

，（2分）
∴OB=2，∴B（2，0）．（3分）

（2）易知A（1，

3

），（4分）
把A（1，

3

），B（2，0），代入y=kx+b得

k+b= 3 2k+b=0

，（5分）
解得，k=-

3

，b=2

3

；
∴y=-

3

x+2

3

．（6分）

（3）符合條件的點(diǎn)P有：
（0，2

3

）（0，2）（0，-2）（0，

2

3

3

）．（9分）
（1-2個(gè)點(diǎn)（1分），3個(gè)點(diǎn)（2分），4個(gè)3分）
理由：設(shè)點(diǎn)P（0，y），已知A（1，

3

），O（0，0）；
則AP²=1+（y-

3

）²，OP²=y²，OA²=4；
①當(dāng)OP=AP時(shí)，OP²=AP²，即：
y²=1+（y-

3

）²，解得y=

2 3

3

，
∴P（0，

2 3

3

）；
②當(dāng)AP=OA時(shí)，AP²=OA²，即：
1+（y-

3

）²=4，整理得：y²-2

3

y=0，
解得y=0（舍去），y=2

3

，
∴P（0，2

3

）；
③當(dāng)OP=OA時(shí)，OP²=OA²，即：
y²=4，解得y=±2，
∴P（0，2）或（0，-2）；
綜上可知：符合條件的P點(diǎn)有四個(gè)，且坐標(biāo)為：P（0，2

3

）（0，2）（0，-2）（0，

2

3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：等邊三角形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及等腰三角形的構(gòu)成情況等知識(shí)，要注意（3）題要根據(jù)等腰三角形不同的腰和底分類討論，以免漏解．