Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰三角形，直線AC解析式為y=-2x+6，將△AOC沿直線AC折疊，點(diǎn)O落在平面內(nèi)的點(diǎn)E處，直線AE交x軸于點(diǎn)D．
（1）求直線AD解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)B出發(fā)沿著x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q是射線CE上的點(diǎn)，且∠PAQ=∠BAC，設(shè)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求△POQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，直線CE上是否存在一點(diǎn)F，使以點(diǎn)F、A、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t值及Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AC的解析式，易確定出OB、OA、OC的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：OC=CE，即可得CE的值；用未知數(shù)表示出CD的長，然后根據(jù)△CDE∽△ADO得到DE的表達(dá)式，進(jìn)而可在Rt△CDE中，由勾股定理求得CD的長，即可得D點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式．
（2）此題應(yīng)注意運(yùn)用全等三角形來求解；由已知條件∠PAQ=∠BAC，可推出∠BAP=∠CAQ（兩個(gè)等角減去或加上一個(gè)同角），從而證得△BAP≌△CAQ，得BP=CQ，以O(shè)P為底、CE•sin∠ECD為高即可求得△POQ的面積表達(dá)式，由此求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；需要注意的是，在表示OP長時(shí)，要分兩種情況：
①點(diǎn)P在線段OB上，②點(diǎn)P在x軸正半軸上．
（3）此題按兩種情況考慮即可：①以AD為邊，②以AD為對(duì)角線；可運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合直線CE的解析式來求解．

解答：解：（1）∵直線AC解析式為y=-2x+6，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6），C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
即OA=6，OC=3；
由折疊的性質(zhì)知：∠AEC=∠AOC=90°，OA=AE=6，OC=CE=3；
設(shè)CD=x（x＞0），則OD=x+3；
易證得：△CED∽△AOD，由于OA=2CE，
所以O(shè)D=2DE，即DE=

x+3

2

；
在Rt△CED中，由勾股定理得：
3²+（

x+3

2

）²=x²，解得x=5（負(fù)值舍去）；
故CD=5，OD=8，D（8，0）；
設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+6，則有：
8k+6=0，k=-

3

4

，
∴直線AD解析式為y=-

3

4

x+6．

（2）①當(dāng)P在線段BO上時(shí)，即0＜t＜3時(shí)；
∵∠BAC=∠PAQ，∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面積為：S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（3-t）×

4

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t；
②當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí)，即t＞3時(shí)；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（t-3）×

4

5

t，
即S=

2

5

t²-

6

5

t；
綜上可知：S=

- 2 5 t2+ 6 5 t(0＜t＜3) 2 5 t2- 6 5 t(t＞3)

．

（3）分兩種情況：
①0＜t＜3時(shí)，顯然不存在以AD為邊的情況，那么只考慮以AD為對(duì)角線的情況；
此時(shí)P（t-3，0），取易知AD的中點(diǎn)為：（4，3）；
由于平行四邊形中，以AD、PF為對(duì)角線，所以AD的中點(diǎn)也是PF的中點(diǎn)；
則F（11-t，6）；
易求得直線CE：y=

4

3

x-4，代入F點(diǎn)坐標(biāo)得：

4

3

（11-t）-4=6，解得t=

7

2

；
即BP=CQ=

7

2

，∴Q（

3

2

×

3

5

+3，

3

2

×

4

5

），即Q（

51

10

，

14

5

）；
②t＞3時(shí)，顯然不存在以AD為對(duì)角線的情況，那么只考慮以AD為邊的情況；
此時(shí)PF∥DP，即F點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，由①得，此時(shí)F（

15

2

，6）；
即DP=AF=

15

2

，BP=BD+DP=11+

15

2

=

37

2

，即t=

37

2

；
此時(shí)CQ=BP=

37

2

，同①可求得：Q（

141

10

，

74

5

）．
綜上可知：存在符合條件的F點(diǎn)，此時(shí)的t值和Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為：
t=

3

2

，Q（

51

10

，

14

5

）或t=

37

2

，Q（

141

10

，

74

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的翻折變換、一次函數(shù)解析式的確定、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)、以及平行四邊形的判定等知識(shí)，同時(shí)考查了分類討論數(shù)學(xué)思想的引用，難度較大．