Question

17．已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-1，0）和B點(diǎn)（B點(diǎn)在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．
（1）求拋物線的解析式，并求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）如圖1，若平行于x軸的一條動(dòng)直線L₁交直線BC于點(diǎn)P，且x軸有一點(diǎn)D（2，0），當(dāng)三角形ODP為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若垂直x軸的另一條動(dòng)直線L₂交拋物線于E點(diǎn)，交線段BC于F點(diǎn)，交x軸于H點(diǎn)，三角形BCE的面積是否存在最大值？若存在，求出它的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得EF的長(zhǎng)，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得m的值，面積的最大值；根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），得對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{2}$．
由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，得
$\frac{3}{2}$-（-1）=$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$=4，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
將A、B、頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+4c=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²-3x-4；
當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）；
（2）如圖1：
，
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
BC的解析式為y=x-4，
P在BC上，設(shè)P（m，m-4），OP²=m²+（m-4）²，PD²=（m-2）²+（m-4）²，OD²=4．
當(dāng)PO=OD時(shí)，m²+（m-4）²=4化簡(jiǎn)，得m²-4m+6=0，方程無(wú)解；
當(dāng)PO=PD時(shí)，m²+（m-4）²=（m-2）²+（m-4）²，化簡(jiǎn)，得4m-4=0，解得m=1，m-4=-3，即P（1，-3）；
當(dāng)OD=PD時(shí)，（m-2）²+（m-4）²=4，化簡(jiǎn)，得m²-6m+8=0，解得m=2，m=4（不符合題意，舍），m-4=-2，即P（2，-2）；
綜上所述：當(dāng)三角形ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，-3），（2，-2）；
（3）如圖2：
，
E在拋物線上，F(xiàn)在BC上，設(shè)E（m，m²-3m-4），F(xiàn)（m，m-4），
EF=m-4-（m²-3m-4）=-m²+4m=-（m-2）²+4，
S_△BCE=S_△BEF+S_△CEF
=$\frac{1}{2}$FE•BH+$\frac{1}{2}$EF•O
H=$\frac{1}{2}$EF•OB
=$\frac{1}{2}$[-（m-2）²+4]×4
當(dāng)m=2時(shí)，S_最大=8，
當(dāng)m=2時(shí)，m-4=2-4=-2，即E（2，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用等腰三角形的定義得出關(guān)于m的方程式解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用三角形的面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．