Question

（2013•永修縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+2與x軸正半軸交與點(diǎn)C，與y軸正半軸交于點(diǎn)A，以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)作一個(gè)等腰直角三角形ABC，拋物線y=ax²-ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M可與B、C重合），過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)N．
（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式．
（2）求BC所在直線的解析式．
（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先由直線AC的解析式為y=-2x+2，求出與y軸交點(diǎn)A、與x軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，利用AAS證明△BCD≌△CAO，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出BD=CO=1，CD=AO=2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），進(jìn)而得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式為y=

1

2

x-

1

2

；
（3）先將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=ax²-ax-2，求出拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-2，再由MN∥y軸，設(shè)M（x，y₁），N（x，y₂），由點(diǎn)M在線段BC上，得出y₁=

1

2

x-

1

2

，由點(diǎn)N在拋物線上，得出y₂=

1

2

x²-

1

2

x-2，則MN=y₁-y₂=-

1

2

（x-1）²+2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出線段MN的長(zhǎng)度的最大值．

解答：解：（1）∵y=-2x+2，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
當(dāng)y=0時(shí)，x=1，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D．
在△BCD與△CAO中，

∠BDC=∠COA=90° ∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO BC=CA

，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=CO=1，CD=AO=2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y=

3

x

；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將B（3，1），C（1，0）代入，
得

3k+b=1 k+b=0

，解得

k= 1 2 b=- 1 2

，
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x-

1

2

；

（3）∵拋物線y=ax²-ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，1），
∴9a-3a-2=1，解得a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-2．
∵M(jìn)N∥y軸，∴可設(shè)M（x，y₁），N（x，y₂），
∵點(diǎn)M在線段BC上，∴y₁=

1

2

x-

1

2

，
N在拋物線上，∴y₂=

1

2

x²-

1

2

x-2，
∴MN=y₁-y₂
=（

1

2

x-

1

2

）-（

1

2

x²-

1

2

x-2）
=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2，
∵-

1

2

＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度有最大值2．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強(qiáng)，難度中等．本題第（3）問(wèn)中，在設(shè)出M（x，y₁），N（x，y₂）兩點(diǎn)的坐標(biāo)之后，用含x的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．