Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD為AB邊的中線，以D為公共端點(diǎn)的兩條互相垂直的射線分別與AC、BC交于點(diǎn)E、F，分別過點(diǎn)E、F作AB的垂線，垂足為G、H．
（1）求證：①DE=DF；②EG+FH=AC．
（2）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3這兩種位置時(shí)，探索②中的等量關(guān)系是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段EG、FH、AC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想（不需證明）．

Answer 1

證明：（1）①∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD為AB上的中線，
∴CD=BD，∠DCE=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF．

②∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均為等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，F(xiàn)H=DG，
∴EG+FH=DH+DG=AG+BH=AB=AC．

（2）均不成立．
①當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，EG-FH=AC．
證明：∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均為等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，F(xiàn)H=DG，
∴EG-FH=AG-DG=AB=AC．

②當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，F(xiàn)H-EG=AC．
證明：∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均為等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，F(xiàn)H=DG，
∴FH-GE=BH-DH=AB=AC．
分析：（1）①可通過證明△CDE≌△BDF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等解答；②△AEG和△BHF均為等腰直角三角形，可得GE=HD，GD=HF，易證△DEG≌△FDH，可得EG=DH，F(xiàn)H=DG，則可得EG+FH=DH+DG=AG+BH=AB=AC．
（2）圖2中，可證明△EDG≌△DFH（AAS），則EG=DH，DG=FH，又△AGE是等腰三角形，則EG-FH=AG-DG=AB=AC；圖3同理可得，F(xiàn)H-GE=BH-DH=AB=AC．
點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，鍛煉培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力、想象探究能力．