Question

（2009•北侖區(qū)模擬）如圖，ABCD為正五邊形，點(diǎn)P為CD中點(diǎn)，連接BD，分別與AC、AP相交于點(diǎn)M、N，則

MN

BM

=

5 -1

2

．

Answer 1

分析：利用正五邊形的內(nèi)角度數(shù)以及相似三角形的性質(zhì)即可得出，MN，BM的長(zhǎng)度，即可得出比值．

解答：解：∵ABCD為正五邊形，點(diǎn)P為CD中點(diǎn)，
∴∠BCA=∠BAC=36°，∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠E=108°，
AP是CD的垂直平分線，
∴CN=ND，
∴∠NDC=∠NCD=36°，
∴∠BCN=∠BNC=72°，
∴∠CBN=36°，
∵∠NCM=108°-∠BCA-∠NCD=36°，
∠CNM=∠NCD+∠NDC=72°，
∴∠CMN=72°，
∴∠NCM=∠CBN，∠BCN=∠CNM，
∴△CNM∽△BCN，

MN

CN

=

CN

BN

，
設(shè)BC=1，CN=BM=CM=x，則MN=1-x，
∴

1-x

x

=

x

1

，
∴x²+x-1=0，
解得：x=

-1+ 5

2

，
∴MN=1-

-1+ 5

2

=

3- 5

2

，
∴則

MN

BM

=

3- 5 2

-1+ 5 2

=

5 -1

2

，
故答案為：

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，利用正五邊形性質(zhì)得出△CNM∽△BCN進(jìn)而求出MN，BM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．