Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求出△ABC的周長(zhǎng)．

（2）在直線(xiàn)BC上方有一點(diǎn)Q，連接QC、QB，當(dāng)△QBC面積最大時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)P從Q出發(fā)，沿適當(dāng)路徑到達(dá)y軸上的M點(diǎn)，再沿與對(duì)稱(chēng)軸垂直的方向到達(dá)對(duì)稱(chēng)軸上的N點(diǎn)，連接BN，求QM+MN+BN的最小值．

（3）在直線(xiàn)BC上找點(diǎn)G，K是平面內(nèi)一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使以O、C、G、K為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出A，B，C的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

（2）如圖1中，作QH∥OC交BC于H．設(shè)Q（m，m2m+3），構(gòu)建二次函數(shù)求出△BCQ的面積最大時(shí)Q的坐標(biāo)，如圖2中，作點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'，在Q'Q上取一點(diǎn)Q″，使得Q'Q″=MN，連接Q″B交對(duì)稱(chēng)軸于N，作NM⊥y軸于M，連接QM，則此時(shí)QM+MN+BN的值最�。�求出BQ″的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

（3）分二種情形：當(dāng)OC=CG時(shí)，可得菱形OCGK，菱形OCG'K'．當(dāng)CG″是菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，可得菱形OCK″G″，分別求解即可解決問(wèn)題．

（1）對(duì)于拋物線(xiàn)y，

令x=0，得到y=3，可得C（0，3），

令y=0，得到x2﹣5x﹣6=0，解得：x=﹣1或6，

∴A（﹣1，0），B（6，0），

∴OA=1，OC=3，OB=6，

∴AB=7，AC2，BC3，

∴△ABC的周長(zhǎng)=7+237+5．

（2）如圖1中，作QH∥OC交BC于H．

設(shè)Q（m，m2m+3），

∵C（0，3），B（6，0），

∴直線(xiàn)BC的解析式為yx+3，

∴H（m，m+3），

∴QHm2+3m，

∴S△QBCQH（Bx﹣x）（m2+3m）×6

（m﹣3）2，

∵0，

∴m=3時(shí)，△BCQ的面積最大，此時(shí)Q（3，6），

如圖2中，作點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'，在Q'Q上取一點(diǎn)Q″，

使得Q'Q″=MN，

連接Q″B交對(duì)稱(chēng)軸于N，作NM⊥y軸于M，連接QM，

則此時(shí)QM+MN+BN的值最�。�

∵Q'（﹣3，6），Q'Q″，

∴Q″（，6），

BQ″，

∵QM=MQ'，四邊形Q'Q″NM是平行四邊形，

∴NQ″=MQ'，

∴MQ+MN+BN=MN+NQ″++BN=MN+BQ″，

∴QM+MN+BN的最小值為．

（3）如圖3中，

①當(dāng)OC=CG時(shí)，可得菱形OCGK，菱形OCG'K'．

設(shè)G（m，）．

∵GK∥CO，GK=CO，

∴K（m，）．

∵OC=CG，

∴，

整理得：，

解得：m=，或m=．

當(dāng)m=時(shí)，=，

此時(shí)G（，），K（，）；

當(dāng)m=時(shí)，=，

此時(shí)G'（，），K'（，）；

②當(dāng)CG″是菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，可得菱形OCK″G″，設(shè)對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為T．

設(shè)G″（m，）．

∵G″K″∥CO，G″K″=CO，

∴K″（m，）．

∵OG″=CO，

∴，

整理得：，

解得：m=0（舍去），或m=．

當(dāng)m=時(shí)，=，此時(shí)G″（，），K″（，）．

綜上所述：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．