(2013•大興區(qū)一模)已知:如圖,AC為⊙O的直徑且PA⊥AC,BC是⊙O的一條弦,連結(jié)PB、PO,PO∥BC,
(1)求證:直線PB是⊙O的切線;
(2)求tan∠BCA的值.
分析:(1)連接OB.證OB⊥PB即可.通過證明△AOP≌△BOP得證.
(2)延長AC交PB的延長線于點D,利用△PDO∽△BDC得到DC=2CO.設(shè)CO=r,則DO=3r,連結(jié)BO,利用△BDO∽△ADP,求得PA的長,從而求解結(jié)論.
解答:(1)證明:連接OB,
∵OB=OC,
∴∠C=∠OBC.
∵PO∥BC,
∴∠C=∠AOP,∠BOP=∠OBC,
∴∠AOP=∠BOP
∵OP=OP,
∴△AOP≌△BOP.
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切線.
(2)解:延長AC交PB的延長線于點D,
∵PO∥BC,
∴△PDO∽△BDC.

DC
DO
=
BC
PO
=
2
3

∴DC=2CO.
設(shè)CO=r,則DO=3r,連結(jié)BO,
在Rt△BDO中,DB=
9r2-r2
=2
2
r

又∵△BDO∽△ADP,
BO
PA
=
BD
AD
=
2
2
r
4r
=
2
2

PA=
2
r

tan∠BCA=tan∠POA=
2
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及切線的判定,特別是第(2)題,難度較大.
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5
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(8n-2)
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