Question

【題目】（本題10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸的正半軸交于另一點(diǎn)A，且OA ：OC="2" ：7．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D為線段CB上，點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)拋物線上，PD=PB，當(dāng)tan∠PDB＝２，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q（7，m）在第四象限內(nèi)，點(diǎn)R在對稱軸的右側(cè)拋物線上，若以點(diǎn)P、D、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x２＋x-7 ；（2）P（8，-3）；

（3）R（10，-12）,Q（7，-11）或R（6，2），Q（7，-7）

【解析】試題分析：（1）有直線解析式可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用OA ：OC="2" ：7．求出A的坐標(biāo).最后把A、C代入拋物線解析式求出即可.

（2）先求出B的坐標(biāo)可得∠OCB=∠OBC=45°，又過P作PE⊥BC于點(diǎn)E，所以∠CFG=∠OCB==45°就得到線段EF、BF、EP的數(shù)量關(guān)系；又tan∠PDB＝２可以得到線段EP、DE、PD的數(shù)量關(guān)系，然后設(shè)出P、F的坐標(biāo)利用他們的縱坐標(biāo)相等即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若以點(diǎn)P、D、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形有兩種情況：線段PD有可能是邊也有可能是對角線.

當(dāng)PD是邊時(shí)，即DP∥QR時(shí)，∵B（7，0），Q（7，n）∴BQ∥y軸

過P作PN∥BQ，過D作DN⊥BQ交PN于點(diǎn)N，過R作RM⊥BQ于點(diǎn)M. 設(shè)PD交BQ于點(diǎn)T，DN交BM于點(diǎn)I

即可證明△RMQ≌△DNP，再求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，∵RM=DN，∴t-7=8-5解得t=10，再把t=10帶入拋物線即可求出R、Q；當(dāng)PD是對角線時(shí)，同理求出.

試題解析：（1）∵直線y=kx-7與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C ∴C（0，-7） ∴OC=7

∵拋物線y=ax2+bx+14a經(jīng)過點(diǎn)C，∴14a=-7，∴a =-∴y＝-x２＋bx-7

∵OA ：OC="2" ：7．∴OA=2，∴A（2，0）∵拋物線y＝-x２＋bx-7經(jīng)過點(diǎn)A

∴b=∴拋物線的解析式為y＝-x２＋x-7

（2）如圖1，∵拋物線y＝-x２＋x-7經(jīng)過B點(diǎn)， 令y=0解得x=7或x=2（舍）∴B（7，0）

∴OB=7∴OC=OB∴∠OCB=∠OBC=45°

過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)G，交CB延長線于點(diǎn)F，

則PF∥y軸，∴∠CFG=∠OCB==45°

∴BF=GF

過P作PE⊥BC于點(diǎn)E，

∵PD=PB

∴∠PBD=∠PDB

∴tan∠PBD=tan∠PDB=2

∴PE=2BE

∵EF=PE ∴BF=BE

∴PF=PE=2BE=2BF=4GF，

∴PG="3GF"

∵直線y=kx-7過B點(diǎn) ∴k=1 ∴y=x-7

設(shè)F（），則P（）

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y＝-x２＋x-7上，

所以，

解得m=7（舍）或m=8

∴P（8，-3）

如圖2,當(dāng)DP∥QR時(shí)，即四邊形DQRP是平行四邊形 ∵B（7，0），Q（7，n）∴BQ∥y軸

過P作PN∥BQ，過D作DN⊥BQ交PN于點(diǎn)N，

過R作RM⊥BQ于點(diǎn)M.

設(shè)PD交BQ于點(diǎn)T，DN交BM于點(diǎn)I

∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM, ∵∠DTB=∠PTQ

∴∠DPN=∠RQM

∵四邊形DPRQ是平行四邊形

∴DP=RQ

∵∠RMQ=∠DNP，∴△RMQ≌△DNP

∴RM=DN，MQ=PN

由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=BF=

∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2 ∴D（5，-2）

設(shè)R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，∵RM=DN，∴t-7=8-5

解得t=10

∵點(diǎn)R在拋物線y＝-x２＋x-7 上，

∴當(dāng)t=10時(shí)，

∴R（10,-12）

∵M(jìn)Q=PN

∴3-2=-12-n，∴n=-11

∴R（10，-12）,Q（7，-11）

如圖3，當(dāng)DR∥QP時(shí)，即四邊形DQPR是平行四邊形

同理可求得R（6，2），Q（7，-7）