Question

如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，AE交BF于點(diǎn)H，CG∥AE交BF于點(diǎn)G，給出下列結(jié)論：①△BHE為直角三角形；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④

BC2

CF2

=

BG

CF

，其中正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：易證△ABE≌△BCF和△BHE≌△CGF，可得∠BAE=∠CBF和FG=HE，分別對(duì)①②③④進(jìn)行驗(yàn)證，即可解題．

解答：解：①∵在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF，（SAS）
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠ABH+∠CBF=90°，
∴∠ABH+∠BAE=90°，
∴△BHE為直角三角形；①正確；
②∵AH⊥BF，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵S_△BCF=

1

2

CG•BF=

1

2

BC•CF，
∴CG•BF=BC•CF，②正確；
③∵∠CBF+∠CFG=90°，∠CFG+∠FCG=90°，
∴∠FCG=∠CBF，
∵在△BHE和△CGF中，

∠BHE=∠CGF=90° ∠FCG=∠CBF BE=CF

，
∴△BHE≌△CGF，
∴FG=HE，
∵tan∠CBF=

CF

BC

=

1

2

=

HE

BH

，
∴BH=2FG，③錯(cuò)誤；
④∵BG＜BC，CF=

1

2

BC，
∴BC²≠BG•CF，
∴

BC2

CF2

≠

BG

CF

，④錯(cuò)誤；
故答案為 ①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABE≌△BCF和△BHE≌△CGF是解題的關(guān)鍵．