Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點坐標(biāo)為（2,4）,直線x=2與軸相交于點,連結(jié),拋物線y=x從點沿方向平移,與直線x=2交于點,頂點到點時停止移動．

（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式;

（2）設(shè)拋物線頂點的橫坐標(biāo)為,

①用的代數(shù)式表示點的坐標(biāo);

②當(dāng)為何值時,線段最短;

（3）當(dāng)線段最短時,相應(yīng)的拋物線上是否存在點,使△的面積與△的面積相等,若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x;

（2）①點P的坐標(biāo)是（2,m²﹣2m+4）;②當(dāng)m=1時,PB最短;

（3）拋物線上存在點,Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA與△PMA的面積相等,理由見解析．

【解析】

試題分析:（1）根據(jù)A點的坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求出直線OA的解析式;

（2）①由于M點在直線OA上,可根據(jù)直線OA的解析式來表示出M點的坐標(biāo),因為M點是平移后拋物線的頂點,因此可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)出這個二次函數(shù)的解析式,P的橫坐標(biāo)為2,將其代入拋物線的解析式中即可得出P點的坐標(biāo);

②PB的長,實際就是P點的縱坐標(biāo),因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達式來求出PB最短時,對應(yīng)的m的值;

（3）根據(jù)（2）中確定的m值可知:M、P點的坐標(biāo)都已確定,因此AM的長為定值,若要使△QMA的面積與△PMA的面積相等,那么Q點到AM的距離和P到AM的距離應(yīng)該相等,因此可分兩種情況進行討論:

①當(dāng)Q在直線OA下方時,可過P作直線OA的平行線交y軸于C,那么平行線上的點到OA的距離可相等,因此Q點必落在直線PC上,可先求出直線PC的解析式,然后利用拋物線的解析式,看得出的方程是否有解,如果沒有則說明不存在這樣的Q點,如果有解,得出的x的值就是Q點的橫坐標(biāo),可將其代入拋物線的解析式中得出Q點的坐標(biāo);

②當(dāng)Q在直線OA上方時,同①類似,可先找出P關(guān)于A點的對稱點D,過D作直線OA的平行線交y軸于E,那么直線DE上的點到AM的距離都等于點P到AM上的距離,然后按①的方法進行求解即可．

試題解析:（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx,

∵A（2,4）,

∴2k=4,

∴k=2,

∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x;

（2）①∵頂點M的橫坐標(biāo)為m,且在線段OA上移動,

∴y=2m（0≤m≤2）．

∴頂點M的坐標(biāo)為（m,2m）．

∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x﹣m）²+2m．

∴當(dāng)x=2時,y=（2﹣m）²+2m=m²﹣2m+4（0≤m≤2）．

∴點P的坐標(biāo)是（2,m²﹣2m+4）;

②∵PB=m²﹣2m+4=（m﹣1）²+3,

又∵0≤m≤2,

∴當(dāng)m=1時,PB最短;

（3）當(dāng)線段PB最短時,此時拋物線的解析式為y=（x﹣1）²+2

即y=x²﹣2x+3．

假設(shè)在拋物線上存在點Q,使S_△QMA=S_△PMA．

設(shè)點Q的坐標(biāo)為（x,x²﹣2x+3）．

①點Q落在直線OA的下方時,過P作直線PC∥AO,交y軸于點C,

∵PB=3,AB=4,

∴AP=1,

∴OC=1,

∴C點的坐標(biāo)是（0,﹣1）．

∵點P的坐標(biāo)是（2,3）,

∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x﹣1．

∵S_△QMA=S_△PMA,

∴點Q落在直線y=2x﹣1上．

∴x²﹣2x+3=2x﹣1．

解得x₁=2,x₂=2,

即點Q（2,3）．

∴點Q與點P重合．

∴此時拋物線上存在點Q（2,3）,使△QMA與△APM的面積相等．

②當(dāng)點Q落在直線OA的上方時,

作點P關(guān)于點A的對稱稱點D,過D作直線DE∥AO,交y軸于點E,

∵AP=1,

∴EO=DA=1,

∴E、D的坐標(biāo)分別是（0,1）,（2,5）,

∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1．

∵S_△QMA=S_△PMA,

∴點Q落在直線y=2x+1上．

∴x²﹣2x+3=2x+1．

解得:x₁=2+,x₂=2﹣．

代入y=2x+1得:y₁=5+2,y₂=5﹣2．

∴此時拋物線上存在點Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）

使△QMA與△PMA的面積相等．

綜上所述,拋物線上存在點,Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA與△PMA的面積相等．

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考點:二次函數(shù)綜合題．