Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B．

（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；

（2）求△AOB的面積；

Answer 1

解：（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對(duì)的圓周角，

∴AB是⊙P的直徑．（2）解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），

∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上一點(diǎn)，

∴mn=12．

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，則OM=m，ON=n．

由垂徑定理可知，點(diǎn)M為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N為OB中點(diǎn)，

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，

∴S_△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．