Question

已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB不小于90°．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求系數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值．
（4）設(shè)E(-

1

2

，0)，當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得直線EF將△ABC的面積平分？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線 y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），得出c與a的關(guān)系，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用已知得出△AOC∽△COB，進(jìn)而求出OC的長度，即可得出a的取值范圍；
（3）作DG⊥y軸于點(diǎn)G，延長DC交x軸于點(diǎn)H，得出拋物線的對稱軸為x=-1，進(jìn)而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h，根據(jù)h=HB sin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤

1

2

，即可求出答案；
（4）連接CE，過點(diǎn)N作NP∥CD交y軸于P，連接EF，根據(jù)三角形的面積公式求出S_△CAEF=S_{四邊形EFCB}，根據(jù)NP∥CE，求出 P(0，-2

3

)，設(shè)過N、P兩點(diǎn)的一次函數(shù)是y=kx+b，代入N、P的左邊得到方程組，求出直線NP的解析式，同理求出A、C兩點(diǎn)的直線的解析式，組成方程組求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線 y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），
∴

0=(-3)2•a+(-3)b+c 0=a+b+c

消去b，得 c=-3a．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3a），
答：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3a）．

（2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，
∠AOC=∠BOC=90°，∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，

AO

OC

=

OC

OB

，
即 OC²=AO•OB，
∵AO=3，OB=1，
∴OC=

3

，
∵∠ACB不小于90°，
∴OC≤

3

，即-c≤

3

，
由（1）得 3a≤

3

，
∴a≤

3

3

，
又∵a＞0，
∴a的取值范圍為0＜a≤

3

3

，
答：系數(shù)a的取值范圍是0＜a≤

3

3

．

（3）作DG⊥y軸于點(diǎn)G，延長DC交x軸于點(diǎn)H，如圖．
∵拋物線 y=ax²+bx+c交x軸于A（-3，0），B（1，0）．
∴拋物線的對稱軸為x=-1．
即-

b

2a

=-1，所以b=2a．
又由（1）有c=-3a．
∴拋物線方程為 y=ax²+2ax-3a，D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4a）．
于是 CO=3a，GC=a，DG=1．
∵DG∥OH，
∴△DCG∽△HCO，
∴

DG

OH

=

GC

CO

，即

1

OH

=

a

3a

，得 OH=3，表明直線DC過定點(diǎn)H（3，0）．
過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h，
∴h=HB sin∠OHC=2 sin∠OHC．
∵0＜CO≤

3

，
∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤

1

2

．
∴0＜h≤1，即h的最大值為1，
答：△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，a=

3

3

，CO=

3

，
設(shè)AB的中點(diǎn)為N，連接CN，則N（-1，0），CN將△ABC的面積平分，
連接CE，過點(diǎn)N作NP∥CE交y軸于P，顯然點(diǎn)P在OC的延長線上，從而NP必與AC相交，設(shè)其交點(diǎn)為F，連接EF，
因?yàn)镹P∥CE，所以S_△CEF=S_△CEN，
由已知可得NO=1，EO=

1

2

，而NP∥CE，
∴PO=2CO=2

3

，得 P(0，-2

3

)，
設(shè)過N、P兩點(diǎn)的一次函數(shù)是y=kx+b，則

0=-k+b -2 3 =b

，
解得：k=b=-2

3

，
即 y=-2

3

(x+1)，①
同理可得過A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)為 x+

3

y+3=0，②
解由①②組成的方程組得x=-

3

5

，y=-

4 3

5

，
故在線段AC上存在點(diǎn)F(-

3

5

，-

4 3

5

)滿足要求．
答：當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上存在點(diǎn)F，使得直線EF將△ABC的面積平分，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-

3

5

，-

4 3

5

）．

點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，解二元一次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．