19.如圖,點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),將AB、OB、OC、AC中點(diǎn)D、E、F、G,依次連接,如此構(gòu)成四邊形DEFG.
(1)當(dāng)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)時(shí),求證:四邊形DEFG是平行四邊形;
(2)當(dāng)點(diǎn)O移動(dòng)到△ABC外時(shí),第(1)題中的結(jié)論是否成立?(畫出圖形,并說(shuō)明理由;)
(3)若四邊形DEFG是矩形,則點(diǎn)O的位置應(yīng)滿足什么條件?試說(shuō)明理由.

分析 (1)(2)根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的判定即可得出結(jié)論.
(3)由矩形的性質(zhì)得出DG⊥DE,由三角形中位線定理得出DE∥OA,DG∥BC,即可得出結(jié)論..

解答 (1)證明:∵AB、OB、OC、AC中點(diǎn)分別為D、E、F、G,
∴DG、EF分別為△ABC和△OBC的中位線,
∴DG∥BC  EF∥BC DG=$\frac{1}{2}$BC,EF=$\frac{1}{2}$BC,
∴DG∥EF且DG=EF,
∴四邊形DEFG是平行四邊形,
(2)解:成立,如圖1所示:
理由如下:
∵由(1)知,DG∥BC,EF∥BC,DG=$\frac{1}{2}$BC,EF=$\frac{1}{2}$BC,
∴DG∥EF且DG=EF,
∴四邊形DEFG是平行四邊形;
(3)解:若四邊形DEFG是矩形,則點(diǎn)O滿足OA⊥BC.理由如下:
如圖2所示:
∵四邊形DEFG是矩形,
∴∠EDG=90°,即DG⊥DE,
∵D、E分別是AB、OB的中點(diǎn),
∴DE是△ABO的中位線,
∴DE∥OA,
由(2)得:DG∥BC,
∴OA⊥BC.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì);熟練掌握平行四邊形的判定方法,由三角形中位線定理得出DG∥EF且DG=EF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

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