Question

小明剪了一些直角三角形紙片，他取出其中的幾張進行了如下的操作：
操作一：如圖1，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為 DE．如果∠CAD：∠CDA=1：2，CD=1cm，試求AB的長．
操作二：如圖2，小明拿出另一張Rt△ABC紙片，將其折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，且與AE重合，折痕為AD．已知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，請你求出CD的長．
操作三：如圖3，小明又拿出另一張Rt△ABC紙片，將紙片折疊，折痕CD⊥AB于D．請你說明：BC²+AD²=AC²+BD²．

Answer 1

分析：操作一：利用對稱找準相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后利用∠CAD：∠CDA=1：2，∠C=90°，求出∠CDA=60°，以及求出AC的長，進而可求得答案；
操作二：利用折疊找著AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，設CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案；
操作三：分別在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC²=BD²+CD²，在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD²+CD²=AC²，即可得出答案．

解答：解：操作一：∵∠CAD：∠CDA=1：2，∠C=90°，
∴設∠CAD=x，∠CDA=2x，
∴x+2x=90°，
解得：x=30°，
故∠CAF=30°，則tan30°=

CD

AC

，
故AC=

CD

tan30°

=

1

3 3

=

3

，
∵將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為 DE，
∴BD=AD，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠CDA=2x=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2

3

（cm）．

操作二：∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10（cm），
根據(jù)折疊性質可得AC=AE=6cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
設CD=x，則BD=8-x，DE=x，
在Rt△BDE中，由題意可得方程x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
故CD=3cm；

操作三：
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC²=BD²+CD²
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD²+CD²=AC²
故BC²+AD²=BD²+CD²+AD²=AC²+BD²．

點評：本題考查了直角三角形中的勾股定理的應用及圖形的翻折問題；解決翻折問題時一般要找著相等的量，然后結合有關的知識列出方程進行解答．