Question

如圖（1）所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點為D點，與x軸交于A、B兩點，點A在原點的左側(cè)，點B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C，且OB=OC，又tan∠ACO=．
①求這個函數(shù)的表達式．
②經(jīng)過C．D兩點的直線與x軸交于點E，在拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求點F的坐標(biāo)．
③如圖（2）所示，若G（2，t）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求此時P點的坐標(biāo)和△APG的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．
（3）易求得AC的長，由于AC長為定值，當(dāng)P到直線AG的距離最大時，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設(shè)出P點坐標(biāo)，根據(jù)直線AG的解析式可求出Q點坐標(biāo)，也就求出PQ的長，進而可得出關(guān)于△APG的面積與P點坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出△APG的最大面積及P點的坐標(biāo)，根據(jù)此時△APG的面積和AG的長，即可求出P到直線AC的最大距離．
解答：解：（1）方法一：∵點B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C，且OB=OC，又tan∠ACO=．
∴tan∠ACO==，
∴AO=1，
∴C（0，-3），A（-1，0），
將A、B、C三點的坐標(biāo)代入得，
解得：，
所以這個二次函數(shù)的表達式為：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
設(shè)該表達式為：y=a（x+1）（x-3），
將C點的坐標(biāo)代入得：a=1，
所以這個二次函數(shù)的表達式為：y=x²-2x-3；
（注：表達式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）如圖，在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴頂點D（1，-4）．
容易求得直線CD的表達式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，此時F（2，-3）．

（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1；
設(shè)P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2；
，
當(dāng)時，△APG的面積最大為；
∵，P到AG的最大距離為，
此時P點的坐標(biāo)為．
點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定、圖形面積的求法等知識，綜合性強，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．