Question

（以下兩小題選做一題，第1小題滿分14分，第2小題滿分為10分．若兩小題都做，以第1小題計(jì)分）
選做第

 

小題．
（1）一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
①如圖，將紙片沿CE對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②在①中，設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為P，若點(diǎn)P，B在拋物線y=x²+bx+c上，求b，c的值；
③若將紙片沿直線l對(duì)折，點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)F處，l與BF的交點(diǎn)為Q，若點(diǎn)Q在②的拋物線上，求l的解析式．
（2）一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
①求直線AC的解析式；
②若M為AC與BO的交點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線y=-

8

5

x²+kx上，求k的值；
③將紙片沿CE對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，試判斷點(diǎn)D是否在②的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①求D點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是求OD的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：CD=BC=OA，在直角三角形OCD中，根據(jù)OC、CD的長(zhǎng)，即可用勾股定理求出OD的值．也就求出了D點(diǎn)的坐標(biāo)．
②還是根據(jù)折疊的性質(zhì)求解，根據(jù)折疊的性質(zhì)不難得出CE垂直平分BD，即P為BD中點(diǎn)，因此P點(diǎn)橫坐標(biāo)為OD的長(zhǎng)加上AD的一半，而P點(diǎn)縱坐標(biāo)為B點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半，據(jù)此可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．然后將P、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值．
③由于F點(diǎn)的位置不確定，可分兩種情況：
①當(dāng)F在x軸上時(shí)，Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為B點(diǎn)總坐標(biāo)的一半，由此可求出Q點(diǎn)縱坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．然后根據(jù)Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)Q點(diǎn)坐標(biāo)去求直線l與坐標(biāo)軸其他交點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)F在y軸上時(shí)，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，可將其代入拋物線的解析式中求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，后同①．（本題也可先求出直線BQ的解析式，由于直線l垂直BQ，那么直線l的斜率和直線BQ的斜率的積為-1，又知直線l過Q點(diǎn)可求出直線l的解析式．）
（2）題較簡(jiǎn)單，參照（1）題部分解題過程即可．
①已知OA=5，OC=4故A（5，0），C（0，4）求出直線AC的解析式為y=-

4

5

x+4．
②可知M點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，2），設(shè)-

8

5

（

5

2

）²+k•

5

2

=2可求得k值．
③已知CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°推出D（3，0）．當(dāng)x=3時(shí)，y=-

8

5

×3²+

24

5

×3=0，得出點(diǎn)D在拋物線上．

解答：解：（1）①根據(jù)題意知，CD=CB=OA=5
∵∠COD=90°
∴CD=

CD2-OC2

=3
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
②過P作PG⊥x軸于G

據(jù)題知，PG=

1

2

AB=2，DG=

1

2

AD=1
∴P點(diǎn)坐標(biāo)（4，2）
∵點(diǎn)P，B在拋物線y=x²+bx+c上
∴b=-7，c=14
③當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，過Q作QM⊥x軸于M

同②可知QM=

1

2

AB=2，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2
得x²-7x+14=2
∴x=3或x=4
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）或（4，2）
當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，如圖，OM=3，MA=2，F(xiàn)A=4
AB=4
FA=AB，而l為BF的中垂線
∴點(diǎn)A在l上
∴l(xiāng)的解析式為y=-x+5．
當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，如圖，OM=4，MA=1，OF=3，CF=5，而CB=5；
∴CF=CB
∵l為BF的中垂線
∴點(diǎn)C在l上．
∴l(xiāng)的解析式為y=-

1

2

x+4．
當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí)，可求得Q（

5

2

，

11

4

），l與y軸的交點(diǎn)為（0，

31

4

）
∴l(xiāng)的解析式為y=-2x+

31

4

綜上所述，l的解析式為y=-x+5或y=-

1

2

x+4或y=-2x+

31

4

．
（2）①∵OA=5，OC=4，
∴A（5，0），C（0，4）；
∴直線AC的解析式為y=-

4

5

x+4．
②可知：M點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，2）．
由題設(shè)知：-

8

5

（

5

2

）²+k•

5

2

=2．
∴k=

24

5

③∵CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°
∴OD=3，即D（3，0）．
當(dāng)x=3時(shí)，y=-

8

5

×3²+

24

5

×3=0
∴點(diǎn)D在拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、圖形的翻折變換等知識(shí)，（1）③中要注意F點(diǎn)的位置是坐標(biāo)軸而不是x軸，因此要分類討論，不要漏解．