Question

如圖（1），兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1． 固定△ABC不動(dòng)，分別按如下操作畫出圖形并進(jìn)行解答：
（1）圖（2）中，△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷地變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積．
（2）圖（3）中，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你探究四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖2，過(guò)C點(diǎn)作CG⊥AB于G，通過(guò)解直角三角形AGC求得梯形CDBF的高CG=，再由△ADC和△BFC是等底同高知S_△ACD=S_△BFC，則S_梯形CDBF=S_△ABC；
（2）由平移的性質(zhì)推知四邊形CDBF是平行四邊形；然后根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知平行四邊形CDBF的鄰邊CD=BD，則四邊形CDBF是菱形．
解答：解：（1）如圖2，過(guò)C點(diǎn)作CG⊥AB于G，
∵在Rt△AGC中，∠A=60°，AC=1．
∴sin60°=，
∴，
∵AD=CF，
∴S_△ACD=S_△BFC，
∵AB=2，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=

（2）四邊形CDBF是菱形．理由如下：
如圖3，∵CF∥BD，CF=BD，
∴四邊形CDBF是平行四邊形．
∵∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∴平行四邊形CDBF是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平移的性質(zhì)、菱形的判定以及直角三角形斜邊上的中線．解答（2）題時(shí)，也可以根據(jù)平移的性質(zhì)證得平行四邊形CDBF的對(duì)角線互相垂直，由此證得平行四邊形CDBF是菱形．