Question

在邊長為1的正方形內(nèi)任給五點，則必有兩點，它們之間的距離不大于

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．

Answer 1

分析：由抽屜原則，顯然我們應(yīng)將這五點放入四個合適的抽屜中，且每個抽屜中任兩個點的距離都不超過

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．于是我們可以通過連接正方形兩組對邊的中點，從而將其分割成長度為

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的四個小正方形來構(gòu)造“抽屜”，即可證得．

解答：解：由抽屜原則，顯然我們應(yīng)將這五點放入四個合適的抽屜中，且每個抽屜中任兩個點的距離都不超過

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．于是我們可以通過連接正方形兩組對邊的中點，從而將其分割成長度為

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的四個小正方形來構(gòu)造“抽屜”．這樣，任意的五個點中必有兩個點一定在同一個小正方形內(nèi)，如圖所示，而每一個小正方形內(nèi)兩點間的最大距離就是

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．因此，在同一個小正方形內(nèi)的兩個點的距離一定不大于

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．于是命題得證．

這里，特別值得一提的是，并不是任意與幾何圖形有關(guān)的命題在構(gòu)造抽屜時都一定得將圖形等分（見下面的例9）．事實上，就本例來講，如果將原正方形的兩條對角線連接起來，也將原正方形四等分了，但是對于原命題的證明是沒有任何原助的．因為這時如果兩點恰好位于正方形的相鄰的兩個頂點處，這樣的兩個點也可以在一個抽屜內(nèi)，但是這兩個點的距離卻不大于

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，顯然與原命題的要求不符．

點評：本題考查抽屜原理的應(yīng)用，難度較大．抽屜原理在競賽題中經(jīng)常用到，同學(xué)們要注意掌握．