Question

（2013•德州）如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其橫坐標(biāo)為t，
①設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)△CEF與△COD相似時，點P的坐標(biāo)；
②是否存在一點P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B、C的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法就可以直接求出二次函數(shù)的解析式；
（2）①由（1）的解析式可以求出拋物線的對稱軸，分類討論當(dāng)∠CEF=90°時，當(dāng)∠CFE=90°時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出P點的坐標(biāo)；
②先運用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，設(shè)PM與CD的交點為N，根據(jù)CD的解析式表示出點N的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN就可以表示出三角形PCD的面積，運用頂點式就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=

OB

OA

=3，
∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3）（-3，0）．
代入解析式為

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）①∵拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，
∴對稱軸l=-

b

2a

=-1，
∴E點的坐標(biāo)為（-1，0）．
如圖，當(dāng)∠CEF=90°時，△CEF∽△COD．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（-1，4）；
當(dāng)∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于點M，則△EFC∽△EMP．
∴

EM

MP

=

EF

FC

=

DO

OC

=

1

3

，
∴MP=3EM．
∵P的橫坐標(biāo)為t，
∴P（t，-t²-2t+3）．
∵P在二象限，
∴PM=-t²-2t+3，EM=-1-t，
∴-t²-2t+3=3（-1-t），
解得：t₁=-2，t₂=3（點P在第二象限，所以舍去），
∴t=-2時，y=-（-2）²-2×（-2）+3=3．
∴P（-2，3）．
∴當(dāng)△CEF與△COD相似時，P點的坐標(biāo)為：（-1，4）或（-2，3）；
②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得

-3k+b=0 b=1

，
解得：

k= 1 3 b=1

，
∴直線CD的解析式為：y=

1

3

x+1．
設(shè)PM與CD的交點為N，則點N的坐標(biāo)為（t，

1

3

t+1），
∴NM=

1

3

t+1．
∴PN=PM-NM=-t²-2t+3-（

1

3

t+1）=-t²-

7

3

t+2．
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴S_△PCD=

1

2

PN•CM+

1

2

PN•OM
=

1

2

PN（CM+OM）
=

1

2

PN•OC
=

1

2

×3（-t²-

7

3

t+2）
=-

3

2

（t+

7

6

）²+

121

24

，
∴當(dāng)t=-

7

6

時，S_△PCD的最大值為

121

24

．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，三角形的面積公式的運用，二次函數(shù)的頂點式的運用，解答本題時，先求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，用函數(shù)關(guān)系式表示出△PCD的面積由頂點式求最大值是難點．