Question

如圖，已知直線y=ax+b（a≠0）與雙曲線（k≠0）交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求直線的解析式；
（3）求線段AB的長；
（4）問在雙曲線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC的面積等于3？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（結(jié)果不需要分母有理化）

Answer 1

【答案】分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線解析式，即可求得k的值；
（2）把點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入（1）中的雙曲線解析式即可求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入直線方程，列出關(guān)于a、b的方程組，通過解方程組來求a、b的值；
（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式來求線段AB的長度；
（4）如圖，過點(diǎn)C作CD∥x軸，交直線AB于點(diǎn)D；過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．利用面積法求得CH=3．然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)C（x，），則D（3-，）．
易求|CD|=|3--x|=6；最后通過解絕對值方程來求x的值．
解答：解：（1）根據(jù)題意知，點(diǎn)A（2，1）在雙曲線（k≠0）上，則k=xy=2×1=2，
所以雙曲線的解析式為y=；

（2）根據(jù)題意知，點(diǎn)B在雙曲線y=上，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是2．故設(shè)B（x，2）．則
2=，
解得，x=1，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，2）．
∵點(diǎn)A、B都在直線y=ax+b（a≠0）上，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為：y=-x+3；

（3）∵A（2，1），B（1，2），
∴AB==，即線段AB的長度是；

（4）存在，理由如下：
如圖，過點(diǎn)C作CD∥x軸，交直線AB于點(diǎn)D；過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．
∵AB=，S_△ABC=3，
∴AB•CH=3，即×=3，
∴CH=3．
設(shè)C（x，），則D（3-，）．
∴|CD|=|3--x|．
在Rt△CDH中，∠CDB=45°，CH=3，則CD=6，
得方程|3--x|=6．
①當(dāng)3--x=6時(shí)，解得，x₁=-1，x₂=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，-2），（-2，-1）；
②當(dāng)3--x=-6時(shí)，解得x₁=，x₂=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（，），（，）；
綜上所述，符號條件的點(diǎn)C有4個(gè)，即（-1，-2），（-2，-1），（，），（，）．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．