Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2（2）（，4）或（，）或（，﹣）（3）（2，1）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組即可．

（2）如圖1中，分兩種情形討論①當(dāng)CP＝CD時(shí)，②當(dāng)DP＝DC時(shí)，分別求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．

（3）如圖2中，作CM⊥EF于M，設(shè)則（0≤a≤4），根據(jù)S四邊形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解：（1）由題意

解得

∴二次函數(shù)的解析式為

（2）存在．如圖1中，

∵C（0，2），

∴CD＝

當(dāng)CP＝CD時(shí)，

當(dāng)DP＝DC時(shí)，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或或

（3）如圖2中，作CM⊥EF于M，

∵B（4，0），C（0，2），

∴直線BC的解析式為設(shè)

∴（0≤a≤4），

∵S四邊形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF

，

∴a＝2時(shí)，四邊形CDBF的面積最大，最大值為，

∴E（2，1）．