Question

（2012•晉江市質(zhì)檢）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當(dāng)△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：
（1）填空：CQ=

t

，AQ=

8-t

（用含t的式子表示）；
（2）當(dāng)t為何值時，點P在以AQ為直徑的⊙M上？
（3）當(dāng)P、Q、F三點在同一條直線上時，如圖（3），求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出EC=QC，進而得出AQ的長；
（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△ABC∽△AQP，進而表示出AP，AQ，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；
（3）首先證明△PAN∽△BAC，再得出△QCF∽△QNP，即可得出

PN

FC

=

NQ

CQ

，求出t的值即可．

解答：解：（1）∵∠QCE=90°，∠DEF=45°，
∴EC=CQ，
∴CQ=t，AQ=AC-QC=8-t，
故答案為：t，8-t；

（2）若點P在AQ為直徑的⊙M上，如圖2，則必須有∠APQ=90°，
由題意得出，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB=90°，
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△AQP，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，
由題意得出：BP=2t，EC=t，
在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
由勾股定理得出：AB=

AC2+BC2

=10（cm），
∴AP=10-2t由（1）得：
AQ=8-t，
∴

10-2t

8

=

8-t

10

，
解得：t=3，
∴當(dāng)t=3s時，點P在以AQ為直徑的⊙M上，

（3）當(dāng)點P、Q、F三點在同一直線上時，如圖3，過P作PN⊥AC于點N，
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC，
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

，
∴

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

，
∴PN=6-

6

5

t，
AN=8-

8

5

t，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t，
∵∠ACB=90°，
∵點B、C（E）、F三點在同一直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP，
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

，
∵0＜t＜4.5，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3

5

，
解得：t=1．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識，正確利用相似三角形的性質(zhì)得出PN，AN的長度是解題關(guān)鍵．