Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作BD的垂線與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F，連接BE交AC于點(diǎn)K，連接DF．

（1）求證：四邊形EBFD是菱形；

（2）若BK＝3EK，AE＝4，求四邊形EBFD的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）32

【解析】

（1）四邊形ABCD是平行四邊形，可以證明△DEO≌△BFO，可得OE＝OF，從而四邊形EBFD是平行四邊形，根據(jù)EF⊥BD，進(jìn)而可得平行四邊形EBFD是菱形；

（2）證明△AEK∽△CBK，對應(yīng)邊成比例可得BC＝12，進(jìn)而求出DE的長，可得菱形的周長．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，

∴∠EDO＝∠FBO，

OB＝OD，

∠EOF＝∠FOB，

∴△DEO≌△BFO（ASA），

∴OE＝OF，

∴四邊形EBFD是平行四邊形，

∵EF⊥BD，

∴平行四邊形EBFD是菱形；

（2）∵AE//BC，

∴△AEK∽△CBK，

∴＝，

∵BK＝3EK，AE＝4，

∴＝，

∴BC＝12，

∴AD＝BC＝DE+AE＝DE+4＝12，

∴DE＝8，

∴菱形EBFD的周長為4DE＝32．

答：四邊形EBFD的周長為32．