Question

已知關(guān)于x的方程x²+2（1+a）x+（3a²+4ab+4b²+2）=0有實根．若在直角坐標系xOy中，x軸上的動點M（x，0）到定點P（a，5），Q（b，1）的距離分別為MP和MQ，當點M的橫坐標的值是多少時，MP+MQ的值最��？

Answer 1

解：由題意得：
△=4（1+a）²-4×（3a²+4ab+4b²+2）≥0，
∴（a-1）²+（a+2b）²≤0，
∴，
則P（1，5），，
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
作出Q關(guān)于x軸的對稱點Q′，連接PQ′，與x軸交于點M，連接QM，
此時QM=Q′M，MP+MQ=MP+MQ′=PQ′最小，
則MP+MQ的值最小時，，又P（1，5），
在直角三角形PQ′N中，根據(jù)勾股定理得：
．
則當點M的橫坐標為時，MP+MQ的最小值為．
分析：由關(guān)于x的方程有實根，得到根的判別式大于等于0，把得到的不等式配方變形，根據(jù)兩非負數(shù)相加小于等于0，必需分別為0求出a與b的值，進而確定出P與Q的坐標，作出Q關(guān)于x軸的對稱點Q′，連接PQ′，由對稱知識得到MP+MQ=PQ′，根據(jù)兩點之間線段最短得到MP+MQ的值最小為PQ′，由Q關(guān)于x軸對稱的特點求出Q′的坐標，再加上P的坐標，代入直線PQ′：y=kx+b中，求出k與b的值，確定出直線PQ′的解析式，令y=0求出M的橫坐標，然后在直角三角形PQ′N中，根據(jù)勾股定理即可求出滿足題意的最小值．
點評：此題綜合考查了一元二次方程解的判別方法，關(guān)于x軸對稱點的求法，勾股定理以及有關(guān)一次函數(shù)的知識．要求學生會利用“兩點法”確定一次函數(shù)的解析式，本題的關(guān)鍵和難點是找出Q關(guān)于x軸的對應(yīng)點，連接P于此對應(yīng)點的線段即為最短距離，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想解決實際問題．