Question

已知拋物線y₁=ax²+bx+c過點A(1,0)，頂點為B，且拋物線不經(jīng)過第三象限.

（1）使用a、c表示b;

（2）判斷點B所在象限，并說明理由；

（3）若直線y₂=2x+m經(jīng)過點B，且與該拋物線交于另一點C,求當(dāng)x≥1時y₁的取值范圍.

Answer 1

解：（1）把點A（1,0）的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可得到b=－a－c.

（2）若a＜0，則拋物線開口向下，拋物線必過第三象限，所以a＜0不成立.

當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，B在第四象限.理由如下：由題意，ax²+bx+c=0可變形為ax²－(a+c)x+c=0，

解得x₁=1,x₂=,a≠c，

所以拋物線與x軸有兩個交點.又因為拋物線不經(jīng)過第三象限,所以a>0，且頂點在第四象限;

（3）由（2）知拋物線與x軸兩個交點為A（1，0）與（，0）.

∵直線y₂=2x+m與該拋物線交于點B、點C (,b+8)，∴點C就是拋物線與x軸的一個交點，即b+8=0，b=－8，此時－a－c=－8，y₁=ax²－8x+c，拋物線頂點B的坐標(biāo)為（，）.

把B、C兩點坐標(biāo)代入直線解析式y₂=2x+m，得ac+2c=24.

又a+c=8，解得a=c=4（與a≠c矛盾，舍去）或a=2，c=6.

∴y₁=2x²－8x+6，B（2，－2）.

畫出上述二次函數(shù)的圖象(如答圖2)，觀察圖象知，當(dāng)x≥1時，y₁的最小值為頂點縱坐標(biāo)－2，且無最大值.           

∴當(dāng)x≥1時，y₁的取值范圍是y₁≥－2.

答圖2