Question

如圖1，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC對折，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C移到點(diǎn)F位置，折痕為DE．
（1）求OD的長；
（2）連接BE，四邊形OEBD是什么特殊四邊形？請運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行說明；
（3）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OA 所在的直線分別為x軸、y軸（如圖2），求直線EF的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=DB，設(shè)OD=x，則DB=x，AD=8-x，利用勾股定理得到x²=（8-x）²+4²，解方程即可得到x；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，而∠3=∠1，得∠2=∠3，則OD=OE，即可得到四邊形OEBD的四邊都相等，根據(jù)菱形的定義即可判斷；
（3）過F作FG⊥x軸于G，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用等積法科求出GF，再利用勾股定理可求得OG，即得到F點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法可求得直線EF的函數(shù)表達(dá)式．

解答：解：（1）如圖1，
∵矩形OABC對折，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C移到點(diǎn)F位置，
∴OD=DB，
設(shè)OD=x，則DB=x，AD=8-x，
在Rt△AOD中，OA=4，
∴OD²=AD²+OA²，即x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
所以O(shè)D的長為5；

（2）四邊形OEBD是菱形．理由如下：
∵矩形OABC對折，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C移到點(diǎn)F位置，
∴∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD=OE，
∴OD=DB=BE=OE，
∴四邊形OEBD是菱形；

（3）過F作FG⊥x軸于G，如圖2，
∵矩形OABC對折，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C移到點(diǎn)F位置，
∴OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）；
∵

1

2

OE•GF=

1

2

OF•EF，
∴GF=

3×4

5

=

12

5

，
在Rt△OFG中，OG=

OF2-GF2

=

4 2-( 12 5 )2

=

16

5

，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（

16

5

，-

12

5

），
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
把E（5，0）和F（

16

5

，-

12

5

）代入得，5k+b=0，

16

5

k+b=-

12

5

，解得k=

4

3

，b=-

20

3

，
∴直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y=

4

3

x-

20

3

．

點(diǎn)評：本題考查了利用待定系數(shù)法一次函數(shù)的解析式：先確定兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入y=kx+b中，得到方程組，解方程組即可．也考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；還考查了矩形的性質(zhì)、菱形的定義以及勾股定理．