Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，3），連接AB，動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AO-OB-BA運(yùn)動，點(diǎn)P在AO、OB、BA上運(yùn)動的速度分別為1，，2（長度單位/秒）；同時直線l從x軸的位置開始以（長度單位/秒）的速度向上平行移動，且分別與OB、AB交于E、F兩點(diǎn)，設(shè)動點(diǎn)P與動直線l同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動一周時，直線l和動點(diǎn)P同時停止運(yùn)動．
請解答下列問題：
（1）過A、B兩點(diǎn)的直線表達(dá)式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求得過A、B兩點(diǎn)的直線表達(dá)式；
（2）此題要掌握點(diǎn)P的運(yùn)動路線，要掌握點(diǎn)P在不同階段的運(yùn)動速度，即可求得；
（3）此題需要分三種情況分析：點(diǎn)P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點(diǎn)，可求的一個；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時，根據(jù)對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．
（4）當(dāng)t=2時，可求的點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，解題時要注意答案的不唯一性．
解答：解：（1）設(shè)過A、B兩點(diǎn)的直線表達(dá)式為y=ax+b（a、b為常數(shù)，且a≠0）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），
∴，
解得，，
∴過A、B兩點(diǎn)的直線表達(dá)式為：y=-x+3；

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），
∴OA=3；
又∵點(diǎn)P在AO、OB、BA上運(yùn)動的速度分別為1，，
∴當(dāng)t=4時，點(diǎn)P在線段OB上，且OP=（4-3÷1）×=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，）；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，=+=+3，
解得OE=，
∴t==；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=t，∠A=60°，
∴AG==t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=t
由3-t=t得t=；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；
③當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時，過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE=t，
∴BE=3- t，
∴EF==3-，
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•=，
解得t=；

（4）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1
將△BEP繞點(diǎn)E順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3）
∵OB⊥EF，
∴點(diǎn)B'在直線EF上，
∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對值等于EO長度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對值等于EO-PO長度
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-，-1）
過F作FQ∥B'C，交EC于點(diǎn)Q，
則△FEQ∽△B'EC
由 ===，可得Q的坐標(biāo)為（-， ）；
根據(jù)對稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)Q'（-，）也符合條件．
故答案是：（1）y=-x+3；（2）（0，）；．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意答案的不唯一性．