Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過　 　后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的　 　邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）

Answer 1

【答案】（1）①①△BPD≌△CPQ，理由見解析；②3cm/s；（2）24秒，AC

【解析】

（1）①△BPD≌△CPQ，利用已知條件求出BP＝CQ，PC＝BD．利用SAS證明△BPD≌△CQP．

②由點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，所以BP≠CQ，又由△BPD與△CPQ全等，∠B＝∠C，得到BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝6cm，從而求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4÷2＝2秒，即可解答．

（2）設(shè)經(jīng)過t秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．由題意：3t﹣2t＝24，求出x即可解決問題；

解：（1）①△BPD≌△CPQ，

理由如下∵t＝1s，

∴BP＝CQ＝2×1＝2cm，

∵AB＝12cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴BD＝6cm．

又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，

∴PC＝8﹣2＝6cm，

∴PC＝BD．

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BPD和△CPQ中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

②∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD與△CPQ全等，∠B＝∠C，

∴BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝6cm，

∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4÷2＝2s，

∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為6÷2＝3（cm/s）．

（2）設(shè)經(jīng)過t秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．

由題意：3t﹣2t＝24，

∴t＝24，

∴24×3＝72，

∵△ABC的周長為32，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇在AC邊上．

故答案為24秒，AC．