Question

5．在等邊△ABC中，點(diǎn)E在直線AC上，連接BE，點(diǎn)D在直線BC上，且CE=CD，連接ED、AD，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，連接FA、FD．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BC的延長線上，若CD=2，BC=3，求△BEC的面積；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BC的延長線上，且AE=CE時，求證：AD=2AF；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上，點(diǎn)D在BC上，且∠ADF=120°時，直接寫出$\frac{BD}{AD}$值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EH⊥BC于H．想辦法求出EH，即可解決問題．
（2）如圖1過點(diǎn)B作BG∥AC交AF的延長線于G，先證明△BFG≌△EFA，再證明△ABG≌△ACD，即可解決問題．
（3）如圖2中，作DG⊥AC于G，F(xiàn)H⊥BC于H，EM⊥BC于M．設(shè)BD=a，DC=CE=2b，則CG=b，AG=a+b，DG=$\sqrt{3}$b，CM=b，EM=$\sqrt{3}$b，F(xiàn)H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，DH=BH-BD=$\frac{a+3b}{2}$-a=$\frac{3b-a}{2}$，由△AGD∽△DHF，得$\frac{AG}{DH}$=$\frac{DG}{FH}$，即$\frac{a+b}{\frac{3b-a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}b}{\frac{\sqrt{3}}{2}b}$，推出a=b，所以AG=2a，DG=$\sqrt{3}$a，根據(jù)AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$，求出AD即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，作EH⊥BC于H．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ECH=60°，
∵EC=DC=2，
∴EH=EC•sin60°=$\sqrt{3}$，
∴S_△BEC=$\frac{1}{2}$•BC•EH=$\frac{1}{2}$×$3×\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

（2）證明：如圖1過點(diǎn)B作BG∥AC交AF的延長線于G，
∴∠G=∠EAF，∠CBG=∠ACB=60°，
∴∠ABG=∠ABC+∠CBG=120°=∠ACD，
∵點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，
∴BF=DF，
在△BFG和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠EAF}\\{∠BFG=∠AFE}\\{BF=EF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△EFA，
∴BG=AE，AF=FG，
∵AE=EC=CD，
∴BG=CD，
在△ABG和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACD}\\{BG=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACD，
∴AD=AG=2AF．

（3）如圖2中，作DG⊥AC于G，F(xiàn)H⊥BC于H，EM⊥BC于M．設(shè)BD=a，DC=CE=2b，則CG=b，AG=a+b，DG=$\sqrt{3}$b，CM=b，EM=$\sqrt{3}$b，F(xiàn)H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，DH=BH-BD=$\frac{a+3b}{2}$-a=$\frac{3b-a}{2}$，
∵∠ADF=120°=∠ABD+∠BAD+∠FDH=60°+∠BAD+∠FDH，
∴∠BAD+∠FDH=60°，
∵∠BAD+∠DAG=60°，
∴∠DAG=∠FDH，
∵∠AGD=∠DHF，
∴△AGD∽△DHF，
∴$\frac{AG}{DH}$=$\frac{DG}{FH}$，
∴$\frac{a+b}{\frac{3b-a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}b}{\frac{\sqrt{3}}{2}b}$，
∴a=b，
∴AG=2a，DG=$\sqrt{3}$a，
∴AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{a}{\sqrt{7}a}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，本題難度較大，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出△BFG≌△EFA，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．