Question

二次函數(shù)的圖象如圖所示，P為圖象頂點(diǎn)，A為圖象與y軸交點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）在x軸上方的函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使△BCD的面積是△AOB的面積的6倍，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）依題意，由圖象可知頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，9），可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+9，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出a值．
又因為B，C是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，即y=0，代入得0=-（y-2）²+9，求得x的值；
（2）先求出S_△AOB，S_△AOB=

1

2

×1×5=

5

2

，因為S_△BCD=6S_△AOB，易求出S_△BCD．設(shè)D（x，y），依題意可知D點(diǎn)在拋物線上，將y=5代入拋物線解析式可求出x的取值．

解答：解：（1）由圖象可知，頂點(diǎn)為P（2，9）．
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+9．
∵圖象過點(diǎn)A（0，5），
∴5=a（0-2）²+9，
解得a=-1．
∴y=-（x-2）²+9，（2分）
當(dāng)y=0時，0=-（x-2）²+9．
解得x₁=-l，x₂=5．
∴圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)B（-1，0），C（5，0）（3分）

（2）設(shè)D（x，y），其中y＞0．
∵S_△BCD=6S_△AOB，
∴

1

2

×6•|y|=6×

1

2

×1×5
∴|y|=5．
∴y=5（舍負(fù)值）（4分）
當(dāng)y=5時，5=-（x-2）²+9．
解得x₁=0，x₂=4．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D₁（0，5），D₂（4，5）（6分）

點(diǎn)評：熟練掌握二次函數(shù)圖象與x軸，y軸交點(diǎn)的意義，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)與解析式之間的關(guān)系，二次函數(shù)對稱軸的性質(zhì)和特點(diǎn)，注意二次函數(shù)與一次函數(shù)以及三角形之間可能出現(xiàn)的出題點(diǎn)．