【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A(2,0)和B(3,3).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)M在第二象限的拋物線上,且∠MBO=∠ABO.
①直線BM交x軸于點(diǎn)N,求線段ON的長(zhǎng);
②延長(zhǎng)BO交拋物線于點(diǎn)C,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn),連接PC、OP,當(dāng)△POC∽△MOB時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)①ON=6;②點(diǎn)P坐標(biāo)為或
【解析】
(1)把點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求解;
(2)①證明△BOL≌△BOA,利用即可求解;②當(dāng)△POC∽△MOB時(shí),點(diǎn)P的位置可能第二象限也可能在第四象限,分別求解即可.
解:(1)把點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式:
,解得: ,
故:拋物線的表達(dá)式為:……①;
(2)①過點(diǎn)B分別向x軸、y軸作垂線,交于點(diǎn)S、K,連接A、L,
點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,3)則:四邊形OSBK為正方形,
∵∠MBO=∠ABO,BO是正方形OSBK的對(duì)角線,BO=BO,
∴△BOL≌△BOA(AAS),
∴OA=OL=2,∴AL⊥BO,
sinα===,則cosα=,tanα= ,
∵OL∥BS,∴,即:,
則:ON=6;
②則點(diǎn)N坐標(biāo)為(﹣6,0),
把點(diǎn)L(0,2)、N坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=kx+b,
解得:y=x+2…②,
聯(lián)立①、②解得:x=﹣3或3(舍去3)
即點(diǎn)M坐標(biāo)為(﹣3,1),
BC所在的直線的表達(dá)式為:y=x…③,
聯(lián)立①、③解得:x=﹣或3(舍去3),
則點(diǎn)C坐標(biāo)為(﹣,﹣),
則:OM= ,OB=3 ,OC= ,MB=2
當(dāng)△POC∽△MOB時(shí),點(diǎn)P的位置可能第二象限也可能在第四象限,
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí),如下圖,過點(diǎn)P作PH⊥x軸,
△POC∽△MOB,∠PCO=∠MBO=α,
∴==,即:= ,
解得:OP= ,PC═ ,
AB所在直線表達(dá)式中的k值為3,
∵∠PCO=∠MBO=∠OBA=α,
∴PC所在直線表達(dá)式中的k值為3,
則:PC所在的直線表達(dá)式為:y=3x+ ,
令y=0,則x=﹣,
即Q點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,0),即:OQ=,
則:CQ= ,則:PQ=PC﹣CQ,
而PH2=OP2﹣OH2=PQ2﹣QH2=PQ2﹣(OQ﹣OH)2,
其中,OP= ,PQ=PC﹣CQ,OQ=,
解得:OH=,
則點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣,),
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí),同理可求點(diǎn)P坐標(biāo)為,
故點(diǎn)P坐標(biāo)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y1=ax+b(a、b為常數(shù),且ab≠0)的圖象如圖所示,y2=bx+a,設(shè)y=y1·y2.
(1)當(dāng)b=-2a時(shí),
①若點(diǎn)(1,4)在函數(shù)y的圖象上,求函數(shù)y的表達(dá)式;
②若點(diǎn)(x1,p)和(x2,q)在函數(shù)y的圖象上,且,比較p,q的大小;
(2)若函數(shù)y的圖象與x軸交于(m,0)和(n,0)兩點(diǎn),求證:m=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F(xiàn),連接AF,BE相交于點(diǎn)P,且AE=CF.
(1)求證:AF=BE,并求∠FPB的度數(shù);
(2)若AE=2,試求AP·AF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的直徑AE=10cm,∠B=∠EAC,則AC的長(zhǎng)為( 。
A. 5cm B. 5cm C. 5 cm D. 6cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知拋物線y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)y=kx+b的圖象相交于A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上不與A,B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)請(qǐng)直接寫出a,k,b的值及關(guān)于x的不等式ax2<kx﹣2的解集;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí),請(qǐng)求出△PAB面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)是否存在以P,Q,A,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,面積為4的正方形的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,邊、分別在軸、軸的正半軸上,點(diǎn)、都在函數(shù)的圖象上,過動(dòng)點(diǎn)分別作軸、軸的平行線,交軸、軸于點(diǎn)、.設(shè)矩形與正方形重疊部分圖形的面積為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m.
(1)求的值;
(2)用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng);
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】盒中有若干枚黑棋和白棋,這些棋除顏色外無其他差別,現(xiàn)讓學(xué)生進(jìn)行摸棋試驗(yàn):每次摸出一枚棋,記錄顏色后放回?fù)u勻.重復(fù)進(jìn)行這樣的試驗(yàn)得到以下數(shù)據(jù):
摸棋的次數(shù)n | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 |
摸到黑棋的次數(shù)m | 24 | 51 | 76 | 124 | 201 | 250 |
摸到黑棋的頻率(精確到0.001) | 0.240 | 0.255 | 0.253 | 0.248 | 0.251 | 0.250 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 ;(精確到0.01)
(2)若盒中黑棋與白棋共有4枚,某同學(xué)一次摸出兩枚棋,請(qǐng)計(jì)算這兩枚棋顏色不同的概率,并說明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年大唐芙蓉園新春燈會(huì)以“鼓舞中華”為主題,既有新年韻味,又結(jié)合“一帶一路”展示了絲綢之路上古今文化經(jīng)貿(mào)繁榮的盛況。小麗的爸爸買了兩張門票,她和各個(gè)兩人都想去觀看,可是爸爸只能帶一人去,于是讀九年級(jí)的哥哥提議用他們3人吃飯的彩色筷子做游戲(筷子除顏色不同,其余均相同),其中小麗的筷子顏色是紅色,哥哥的是銀色,爸爸的是白色,將3人的3雙款子全部放在 一個(gè)不透明的筷簍里搖勻,小麗隨機(jī)從筷簍里取出一根,記下顏色放回,然后哥哥同樣從筷簍里取出一根,若兩人取出的筷子顏色相同則小麗去,若不同,則哥哥去。
(1)求小麗隨機(jī)取出一根筷子是紅色的概率;
(2)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出小隨爸爸去看新春燈會(huì)的概率。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,在△ABC中,點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn),且MA=BC,求證:∠BAC=90°.
(2)如圖2,直線a、b相交于點(diǎn)A,點(diǎn)C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn),ED⊥b,垂足為點(diǎn)D,點(diǎn)M是EC的中點(diǎn),MD=MB,DE=2,BC=3,求△ADE和△ABC的面積之比.
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