Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，A是弧BDC的中點，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長線交于點F，E，且弧BF＝弧AD.

(1)求證：△ADC∽△EBA；

(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）利用圓的內接四邊形角的性質，可得到角相等，再利用題目中給定的弧相等，所以圓周角相等，所以可證明三角形相似.(2)初中階段求三角函數(shù)值，必須構造一個直角三角形或把要求的角轉移到一個直角三角形中，本題由（1）的結論把∠CAD=∠AEC,在直角三角形AEC中，求三角函數(shù).

詳解：

(1)證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠CDA＋∠ABC＝180°.又∵∠ABE＋∠ABC＝180°，

∴∠CDA＝∠ABE.

∵弧BF=弧AD∴∠DCA＝∠BAE，∴△ADC∽△EBA.

(2)解：∵A是弧BDC的中點，∴弧AB=弧AC，∴AB＝AC＝8.

由(1)可知△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，，

∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝.