Question

（2013•保定二模）定義：如果一條直線把一個面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．
如圖1，AD是△ABC的中線，則有S_△ADC=S_△ABD，所以直線AD就是△ABC的一條面積等分線．
探究：
（1）如圖2，梯形ABCD中，AB∥DC，連接AC，過B點作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE，那么有S_△AED=S_梯形ABCD，請你給出這個結(jié)論成立的理由；
（2）在圖2中，過點A用尺規(guī)作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；
類比：
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，過點A能否畫出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用平行線的判定得出四邊形ABEC為平行四邊形，根據(jù)等底等高可得S_△ABC=S_△AEC，即可證明S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；
（2）過點A的梯形ABCD的面積等分線的畫法，可以先作DE的垂直平分線，找到DE的中點G，再連接AG即可；
（3）連接AC，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE，證明可仿照（2）進行．

解答：解：（1）因為AB∥CE，AB=CE，所以四邊形ABEC為平行四邊形，
所以BE∥AC，
所以△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；

（2）過點A的梯形ABCD的面積等分線的畫法如圖所示：
作DE的垂直平分線，交DE于G，連接AG．
則AG是梯形ABCD的面積等分線；


（3）過點A能畫出四邊形ABCD面積等分線，
連接AC，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，
作△AED的中線AF，則△AED的中線AF所在的直線即為四邊形ABCD的面積等分線．
因為BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．
因為AF是△AED的中線，
∴S_△AEF=S_△AFD=

1

2

S_△AED=

1

2

S_{四邊形ABCD}，
∴△AED的中線AF所在直線即為四邊形ABCD的面積等分線，作圖如下：
．

點評：本題考查了學生的閱讀理解能力、運用作圖工具的能力，以及運用三角形、等底等高性質(zhì)等基礎(chǔ)知識解決問題的能力都有較高的要求．還滲透了由“特殊”到“一般”的數(shù)學思想．