Question

【題目】如圖，是的外接圓，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)做的平行線交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求證：為的切線；

（3）若，，求弦的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（2）AC=．

【解析】

（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DBC=∠BDC，根據(jù)圓周角定理可得∠DBC=∠CAE，即可證明∠BDC=∠CAE，進(jìn)而可證明AE=DE；

（2）如圖，連接OE，根據(jù)圓周角定理及三角形外角性質(zhì)可得∠ACB=2∠EAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC=2∠EAC，進(jìn)而可證明點(diǎn)E為的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理推論可得OE⊥BC，根據(jù)EF//BC可得OE⊥EF，即可證明EF是⊙O的切線；

（3）由∠ABE=∠DAB，∠BAE=∠BDA可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出DE的長(zhǎng)，由（1）可得AE=DE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)AB=BC=CD，利用線段的和差關(guān)系即可求出AC的長(zhǎng)．

（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）如圖，連接，

∵∠DBC=∠BDC，

∴∠ACB=2∠DBC，

∵∠DBC=∠EAC，

∴∠ACB=2∠EAC，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB，

∴∠BAC=2∠EAC，

∴∠EAC=∠EAB，

∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴，

∵，

∴，

∴為圓的切線．

（3）在和中，，

∴，

∴，

∴，

∵AB=5，BE=3，

∴

∴，

由（1）得，

∵，

∴，

∵，

∴．